Среднее логарифмическое отклонение

В статистике и эконометрике среднелогарифмическое отклонение (MLD) является мерой неравенства доходов . MLD равен нулю, когда все имеют одинаковый доход, и принимает более высокие положительные значения по мере того, как доходы становятся более неравными, особенно на верхнем уровне.

Определение

MLD дохода домохозяйства определяется как

$\mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}$

где N – количество домохозяйств, $x_{i}$ - доход домохозяйства i , и ${\overline {x}}$ это среднее значение $x_{i}$. Естественно, ту же самую формулу можно использовать для положительных переменных, отличных от дохода, и для единиц наблюдения, отличных от домохозяйств.

Эквивалентные определения

$\mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln {\overline {x}}-\ln x_{i})=\ln {\overline {x}}-{\overline {\ln x}}$

где ${\overline {\ln x}}$ является средним значением ln( x ). Последнее определение показывает, что MLD неотрицательен, поскольку $\ln {\overline {x}}\geq {\overline {\ln x}}$ по неравенству Йенсена .

MLD назвали «стандартным отклонением ln( x )». (SDL), но это неверно. SDL – это

$\mathrm {SDL} ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln x_{i}-{\overline {\ln x}})^{2}}}$

и это не равно МЛД.

В частности, если случайная величина $X$ следует логарифмически нормальному распределению со средним и стандартным отклонением $\log(X)$ существование $\mu$ и $\sigma$, соответственно, тогда

$EX=\exp\{\mu +\sigma ^{2}/2\}.$

Таким образом, асимптотически MLD сходится к:

$\ln\{\exp[\mu +\sigma ^{2}/2]\}-\mu =\sigma ^{2}/2$

Для стандартного логнормального SDL сходится к 1, а MLD сходится к 1/2.

Связанная статистика

MLD — это частный случай обобщенного индекса энтропии . В частности, MLD — это обобщенный индекс энтропии с α = 0.

Внешние ссылки

• Бюро переписи населения США : среднее логарифмическое отклонение (MLD)