Обобщенный индекс энтропии

Неравенство в Южной Африке: обобщенная мера энтропии

Обобщенный индекс энтропии был предложен в качестве меры неравенства доходов среди населения. Он выведен из теории информации как мера избыточности данных. В теории информации меру избыточности можно интерпретировать как неслучайность или сжатие данных ; таким образом, эта интерпретация также применима к этому индексу. интерпретация биоразнообразия как энтропии, что привело к использованию обобщенной энтропии для количественной оценки биоразнообразия. Кроме того, была предложена

Формула

Формула общей энтропии для реальных значений $\alpha$ является:

(Для ge с именем «ge(alpha)», где «alpha» представляет собой целое число:

Вторая формула ниже предназначена для ge(1), также называемого «Theil-T».

Третья формула ниже предназначена для ge(0), также называемого Theil-L».

Первая формула ниже предназначена для ge(альфа), для всех целых альфа, кроме 0 и 1.)

$$GE(\alpha )={\begin{cases}{\frac {1}{N\alpha (\alpha -1)}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\right)^{\alpha }-1\right],&\alpha \neq 0,1,\\{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =1,\\-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =0.\end{cases}}$$где N — количество случаев (например, домохозяйств или семей), $y_{i}$ - доход для случая i и $\alpha$ Это параметр, который регулирует вес, придаваемый расстояниям между доходами в различных частях распределения доходов . Для больших $\alpha$ индекс особенно чувствителен к существованию больших доходов, тогда как для малых $\alpha$ индекс особенно чувствителен к существованию малых доходов.

Индекс Аткинсона для любого параметра неприятия неравенства может быть получен из обобщенного индекса энтропии при условии, что $\epsilon =1-\alpha$ - т.е. индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с небольшим $\alpha$. Более того, это единственный класс мер неравенства, который представляет собой монотонное преобразование индекса Аткинсона и является аддитивно разложимым. Многие популярные индексы, включая индекс Джини , не удовлетворяют требованиям аддитивной разложимости.

Формула расчета индекса Аткинсона с параметром неприятия неравенства $\epsilon$ под ограничением $\epsilon =1-\alpha$ дается: $$A=1-[\epsilon (\epsilon -1)GE+1]^{(1/(1-\epsilon ))}\qquad \epsilon \neq 1$$$$A=1-e^{-GE}\qquad \epsilon =1$$

Обратите внимание, что обобщенный индекс энтропии имеет несколько показателей неравенства доходов в качестве особых случаев. Например, GE(0) — среднее логарифмическое отклонение , GE(1) — индекс Тейла , а GE(2) — половина квадрата коэффициента вариации .

См. также

• Индекс Аткинсона
• Коэффициент Джини
• Индекс Гувера (он же индекс Робин Гуда)
• Показатели неравенства доходов
• Кривая Лоренца
• Энтропия Реньи
• Индекс костюмов
• Частичный индекс