Индекс Аткинсона

Индекс Аткинсона (также известный как мера Аткинсона или мера неравенства Аткинсона ) — это показатель неравенства доходов, разработанный британским экономистом Энтони Барнсом Аткинсоном . Эта мера полезна для определения того, какой конец распределения больше всего способствовал наблюдаемому неравенству. ^[1]

Определение

Индекс можно превратить в нормативную меру, введя коэффициент $\varepsilon$ взвешивать доходы. Больший вес можно придать изменениям в определенной части распределения доходов, выбрав $\varepsilon$ , соответственно, уровень «неприятия неравенства». Индекс Аткинсона становится более чувствительным к изменениям в нижней части распределения доходов, поскольку $\varepsilon$ увеличивается. И наоборот, по мере падения уровня неприятия неравенства (т. $\varepsilon$ приближается к 0) Аткинсон становится менее чувствительным к изменениям в нижней части распределения. Индекс Аткинсона не имеет значения $\varepsilon$ очень чувствителен к верхним доходам из-за общего ограничения, которое $\varepsilon$ является неотрицательным. ^[2]

Аткинсон $\varepsilon$ Параметр часто называют «параметром неприятия неравенства», поскольку он регулирует чувствительность подразумеваемых потерь общественного благосостояния из-за неравенства к неравенству доходов, измеряемому некоторым соответствующим обобщенным индексом энтропии. Индекс Аткинсона определяется со ссылкой на соответствующую функцию социального благосостояния, где средний доход, умноженный на единицу минус индекс Аткинсона, дает эквивалент благосостояния, равномерно распределенный доход . Таким образом, индекс Аткинсона показывает долю текущего дохода, которой можно было бы пожертвовать без снижения социального благосостояния, если бы было установлено совершенное неравенство. Для $\varepsilon =0$ , (отсутствие неприятия неравенства), предельное социальное благосостояние, зависящее от дохода, инвариантно по отношению к доходу, т. е. предельное увеличение дохода производит одинаковое социальное благосостояние независимо от того, достается ли оно бедному или богатому человеку. В этом случае эквивалент благосостояния, равнораспределенный доход равен среднему доходу, а индекс Аткинсона равен нулю.

Для $\varepsilon =+\infty$ (бесконечное неприятие неравенства) предельное социальное благосостояние дохода самого бедного человека бесконечно больше, чем у любого даже немного более богатого человека, а функция социального благосостояния Аткинсона равна наименьшему доходу в выборке. В этом случае индекс Аткинсона равен среднему доходу минус наименьший доход, разделенному на средний доход. Поскольку в типичных распределениях доходов с большими размерами доходов обычное явление, когда доходы равны нулю или близки к нулю, индекс Аткинсона будет иметь тенденцию быть равным единице или очень близким к единице для очень больших доходов. $\varepsilon$ .

Индекс Аткинсона тогда варьируется от 0 до 1 и является мерой величины социальной полезности, которую можно получить в результате полного перераспределения данного распределения дохода для данного $\varepsilon$ параметр. В соответствии с утилитарным этическим стандартом и некоторыми ограничительными допущениями (однородная совокупность и постоянная эластичность полезности замещения ), $\varepsilon$ равна эластичности предельной полезности дохода по доходу.

Индекс Аткинсона определяется как:

A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}

где $y_{i}$ - индивидуальный доход ( i = 1, 2, ..., N ) и $\mu$ это средний доход.

Другими словами, индекс Аткинсона является дополнением к 1 отношения обобщенного среднего показателя Гёльдера показателя 1−ε к среднему арифметическому доходов (где, как обычно, обобщенное среднее показателя 0 интерпретируется как среднее геометрическое ).

Индекс Аткинсона удовлетворяет следующим свойствам:

Индекс симметричен по своим аргументам: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})$ для любой перестановки $\sigma$ .
Индекс неотрицательен и равен нулю только в том случае, если все доходы одинаковы: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0$ если только $y_{i}=\mu$ для всех $i$ .
Индекс удовлетворяет принципу переводов : если перевод $\Delta >0$ производится от физического лица, имеющего доход $y_{i}$ другому с доходом $y_{j}$ такой, что $y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta$ , то индекс неравенства не может увеличиться.
Индекс удовлетворяет аксиоме репликации населения: если новая популяция формируется путем репликации существующей популяции произвольное количество раз, неравенство остается прежним: $A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})$
Индекс удовлетворяет аксиоме средней независимости или однородности доходов: если все доходы умножаются на положительную константу, неравенство остается прежним: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})$ для любого $k>0$ .
Индекс является разложимым по подгруппам. ^[3] Это означает, что общее неравенство населения можно рассчитать как сумму соответствующих индексов Аткинсона внутри каждой группы и индекса Аткинсона групповых средних доходов:

A_{\varepsilon }(y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})

где

g

группы индексов,

i

, отдельные лица внутри групп,

\mu _{g}

это средний доход в группе

g

, и веса

w_{g}

зависеть от

\mu _{g},\mu ,N

и

N_{g}

. Класс индексов неравенств, разложимых по подгруппам, очень ограничен. Многие популярные индексы, в том числе индекс Джини , не удовлетворяют этому свойству.

См. также

Сноски

^ среди прочего «Доход, бедность и медицинское страхование в Соединенных Штатах: 2010 г.» , Бюро переписи населения США , 2011 г., стр.10.
^ Индекс Аткинсона связан с классом индексов неравенства обобщенной энтропии (GE) соотношением $\epsilon =1-\alpha$ - т.е. индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с небольшим $\alpha$ . Индексы GE с большими $\alpha$ чувствительны к существованию больших верхних доходов, но соответствующий индекс Аткинсона будет иметь отрицательные значения. $\varepsilon$ . Для гипотетического индекса Аткинсона с $\epsilon$ будучи отрицательным, подразумеваемая функция социальной полезности будет выпуклой по доходу, а индекс Аткинсона будет неположительным.
^ Шоррокс, AF (1980). Класс аддитивно разложимых индексов неравенства. Эконометрика , 48 (3), 613–625, дои : 10.2307/1913126

Ссылки

Аткинсон, AB (1970) Об измерении неравенства. Журнал экономической теории , 2 (3), стр. 244–263, дои : 10.1016/0022-0531(70)90039-6 . Оригинальная статья, предлагающая этот индекс неравенства.
Эллисон П.Д. (1978) Меры неравенства, American Sociological Review , 43, стр. 865–880. Представляет собой техническое обсуждение свойств меры Аткинсона. В формуле индекса Аткинсона имеется ошибка, которая исправлена Эллисоном (1979).
Эллисон, PD (1979) Ответ Джассо. Американский социологический обзор 44(5):870–72.
Бивен М., Дженкинс С.П. (2003). Оценка обобщенной энтропии и индексов неравенства Аткинсона на основе комплексных данных обследования. Документ для обсуждения IZA №763 . Обеспечивает статистический вывод для индексов Аткинсона.
Ламберт, П. (2002). Распределение и перераспределение доходов . 3-е издание, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8 .
Сен А., Фостер Дж. Э. (1997) Об экономическом неравенстве , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1 . ( Питоновский скрипт для подбора формул в книге)
База данных о мировом неравенстве доходов. Архивировано 13 марта 2011 г. в Wayback Machine , из Всемирного института исследований экономики развития.
Неравенство доходов, 1947–1998 годы , данные Бюро переписи населения США .

Внешние ссылки

Программное обеспечение:

Бесплатный онлайн-калькулятор вычисляет коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет многие другие показатели концентрации для любого набора данных.
Бесплатный калькулятор: онлайн- и загружаемые скрипты ( Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера.
Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет «ineq», который позволяет рассчитывать различные индексы неравенства, включая Джини, Аткинсона, Тейла.
Пакет неравенства MATLAB, заархивированный 4 октября 2008 г. в Wayback Machine , включая код для расчета индексов Джини, Аткинсона, Тейла и для построения кривой Лоренца. Доступно множество примеров.
Stata Пакеты по неравенству: ineqdeco для разложения неравенства по группам; svygei и svyatk для вычисления расчетно-согласованных отклонений для обобщенной энтропии и индексов Аткинсона; glcurve для получения обобщенной кривой Лоренца. Вы можете ввести ssc install ineqdeco и т. д. в Stata подсказка об установке этих пакетов.

[1] среди прочего «Доход, бедность и медицинское страхование в Соединенных Штатах: 2010 г.» , Бюро переписи населения США , 2011 г., стр.10.

[2] Индекс Аткинсона связан с классом индексов неравенства обобщенной энтропии (GE) соотношением $\epsilon =1-\alpha$ - т.е. индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с небольшим $\alpha$ . Индексы GE с большими $\alpha$ чувствительны к существованию больших верхних доходов, но соответствующий индекс Аткинсона будет иметь отрицательные значения. $\varepsilon$ . Для гипотетического индекса Аткинсона с $\epsilon$ будучи отрицательным, подразумеваемая функция социальной полезности будет выпуклой по доходу, а индекс Аткинсона будет неположительным.

[3] Шоррокс, AF (1980). Класс аддитивно разложимых индексов неравенства. Эконометрика , 48 (3), 613–625, дои : 10.2307/1913126

[1]

[2]

[3]