Глауберовая динамика

В статистической физике глауберовская динамика. ^[1] — это способ моделирования модели Изинга (модели магнетизма ) на компьютере. ^[2] Это разновидность Монте-Карло с цепью Маркова алгоритма . ^[3]

Алгоритм

В модели Изинга мы имеем, скажем, N частиц , которые могут вращаться вверх (+1) или вниз (-1). Предположим, частицы находятся на двумерной сетке. Мы помечаем каждый координатой x и y. Алгоритм Глаубера становится: ^[4]

Выберите частицу $\sigma _{x,y}$ случайным образом.
Суммируйте четыре соседних спина. $S=\sigma _{x+1,y}+\sigma _{x-1,y}+\sigma _{x,y+1}+\sigma _{x,y-1}$ .
Вычислите изменение энергии, если спин x, y поменяется местами. Это $\Delta E=2\sigma _{x,y}S$ (см. гамильтониан модели Изинга).
Переверните вращение с вероятностью $1/(1+e^{\Delta E/T})$ где Т — температура .
Отобразите новую сетку. Повторите вышеуказанное N раз.

В алгоритме Глаубера, если изменение энергии при перевороте вращения равно нулю, $\Delta E=0$ , то спин перевернется с вероятностью $p(0,T)=0.5$ .

Алгоритм Глаубера и Метрополиса – Гастингса

Алгоритм Метрополиса – Гастингса дает те же результаты, что и алгоритм Глаубера, но он быстрее. ^[5] В алгоритме Метрополиса выбор вращения является детерминированным. Обычно вращения можно выбирать одно за другим в каком-то порядке, например «порядок пишущей машинки». Однако в динамике Глаубера каждый спин имеет равные шансы быть выбранным на каждом временном шаге, независимо от того, был ли он выбран ранее. Критерий приемлемости Метрополиса также включает вес Больцмана , $e^{-\Delta E/T}$ , но он всегда меняет вращение в пользу понижения энергии, так что вероятность переворота вращения равна:

$p(\Delta E)=\left\{{\begin{matrix}1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta E\leqslant 0\\e^{-\Delta E/T},\ \Delta E>0\\\end{matrix}}\right.$ .

Хотя обе вероятности принятия приближаются к ступенчатой кривой и почти неразличимы при очень низких температурах, они различаются, когда температура становится высокой. Для модели Изинга на 2d-решетке критическая температура равна $T=2.27$ .

На практике основное различие между алгоритмом Метрополиса – Гастингса и алгоритмом Глаубера заключается в выборе спинов и способах их переворота (шаг 4). Однако при тепловом равновесии эти два алгоритма должны давать идентичные результаты. В общем, в состоянии равновесия любой алгоритм MCMC должен давать одно и то же распределение, если алгоритм удовлетворяет эргодичности и детальному балансу . В обоих алгоритмах при любом изменении энергии $p(\Delta E)\neq 0$ Это означает, что переход между состояниями системы всегда возможен, хотя при некоторых температурах он очень маловероятен. Таким образом, условие эргодичности выполнено для обоих алгоритмов. Детальный баланс, который является требованием обратимости, гласит, что если вы наблюдаете за системой в течение достаточно долгого времени, система выходит из состояния $A$ к $B$ с той же частотой, что и от $B$ к $A$ . В равновесии вероятность наблюдения системы в состоянии A определяется весом Больцмана , $e^{-E_{A}/T}$ . Таким образом, количество времени, которое система проводит в состояниях с низкой энергией, больше, чем в состояниях с высокой энергией, и существует больше шансов, что система будет наблюдаться в состояниях, где она проводит больше времени. Это означает, что при переходе от $A$ к $B$ энергетически невыгодно, система оказывается в состоянии $A$ чаще, что уравновешивает более низкую внутреннюю вероятность перехода. Таким образом, оба алгоритма Глаубера и Метрополиса – Гастингса демонстрируют детальный баланс.

История

Алгоритм назван в честь Роя Дж. Глаубера . ^[3]

Программное обеспечение

Пакет моделирования IsingLenzMC обеспечивает моделирование динамики Глаубера на одномерных решетках с внешним полем. КРАН .

Связанные страницы

Ссылки

^ Глаубер, Рой Дж. (февраль 1963 г.). «Рой Дж. Глаубер «Зависящая от времени статистика модели Изинга» » . Журнал математической физики . 4 (2): 294–307. дои : 10.1063/1.1703954 . Проверено 21 марта 2021 г.
^ Сюзен, Мехмет (29 сентября 2014 г.). «М. Сюзен «Эффективная эргодичность в динамике одиночного спина-флипа» » . Физический обзор E . 90 (3): 032141. arXiv : 1405.4497 . дои : 10.1103/PhysRevE.90.032141 . ПМИД 25314429 . S2CID 118355454 . Проверено 9 августа 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Динамика Глаубера | бит-плеер» . Проверено 21 июля 2019 г.
^ Вальтер, Ж.-К.; Баркема, GT (2015). «Введение в методы Монте-Карло». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 418 : 78–87. arXiv : 1404.0209 . дои : 10.1016/j.physa.2014.06.014 . S2CID 118589022 .
^ «Три месяца в Монте-Карло | бит-плеер» . Проверено 25 августа 2022 г.

[:2-1] Глаубер, Рой Дж. (февраль 1963 г.). «Рой Дж. Глаубер «Зависящая от времени статистика модели Изинга» » . Журнал математической физики . 4 (2): 294–307. дои : 10.1063/1.1703954 . Проверено 21 марта 2021 г.

[pre0-2] Сюзен, Мехмет (29 сентября 2014 г.). «М. Сюзен «Эффективная эргодичность в динамике одиночного спина-флипа» » . Физический обзор E . 90 (3): 032141. arXiv : 1405.4497 . дои : 10.1103/PhysRevE.90.032141 . ПМИД 25314429 . S2CID 118355454 . Проверено 9 августа 2022 г.

[:0-3] Jump up to: ^а ^б «Динамика Глаубера | бит-плеер» . Проверено 21 июля 2019 г.

[:1-4] Вальтер, Ж.-К.; Баркема, GT (2015). «Введение в методы Монте-Карло». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 418 : 78–87. arXiv : 1404.0209 . дои : 10.1016/j.physa.2014.06.014 . S2CID 118589022 .

[5] «Три месяца в Монте-Карло | бит-плеер» . Проверено 25 августа 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]