Печать домена

В математике область Зигеля или область Пятецкого-Шапиро представляет собой специальное открытое подмножество комплексного аффинного пространства , обобщающее верхнюю полуплоскость Зигеля, изученную Сигелем ( 1939 ). Они были введены Пятецким-Шапиро ( 1959 , 1969 ) при исследовании ограниченных однородных областей.

Определения

Домен Зигеля первого рода (или первого типа, или рода 1) — это открытое подмножество C. ^м элементов z таких, что

$\Im (z)\in V\,$

где V — открытый выпуклый конус в R ^м . Это частные случаи трубчатых доменов . Примером может служить верхняя полуплоскость Зигеля , где V ⊂ R ^{к ( к + 1)/2} – конус положительно определенных квадратичных форм в R ^к и m = k ( k + 1)/2.

Домен Зигеля второго рода (или второго типа, или рода 2), также называемый доменом Пятецкого-Шапиро, представляет собой открытое подмножество C. ^м × C ^н элементов ( z , w ) таких, что

$\Im (z)-F(w,w)\in V\,$

где V — открытый выпуклый конус в R ^м и F — V -значная эрмитова форма на C ^н .Если n = 0, это область Зигеля первого рода.

Домен Зигеля третьего рода (или третьего типа, или рода 3) — это открытое подмножество C. ^м × C ^н × C ^к элементов ( z , w , t ) таких, что

$\Im (z)-\Re L_{t}(w,w)\in V\,$ и t лежит в некоторой ограниченной области

где V — открытый выпуклый конус в R ^м и L _t — V -значная полуэрмитова форма на C ^н .

Ограниченные однородные области

Ограниченная область — это открытое связное ограниченное подмножество комплексного аффинного пространства. Он называется однородным, если его группа автоморфизмов действует транзитивно, и называется симметричным, если для каждой точки существует автоморфизм, действующий как –1 в касательном пространстве. Ограниченные симметричные области однородны.

Эли Картан классифицировал однородные ограниченные области размерностью не более 3 (с точностью до изоморфизма), показав, что все они являются эрмитовыми симметрическими пространствами . В измерении 1 есть 1 (единичный шар), в измерении 2 — два (произведение двух одномерных комплексных шаров или двумерного комплексного шара). Он спросил, все ли ограниченные однородные области симметричны. Пятецкий-Шапиро ( 1959 , 1959b ) ответил на вопрос Картана, найдя область Зигеля типа 2 в 4 измерениях, которая однородна и биголоморфна ограниченной области, но не симметрична. В размерностях не менее 7 существуют бесконечные семейства однородных ограниченных областей, не симметричных.

Э. Б. Винберг, С. Г. Гиндикин и И. И. Пятецкий-Шапиро ( 1963 ) показали, что всякая ограниченная однородная область биголоморфна области Зигеля типа 1 или 2.

Вильгельм Кауп, Ёзо Мацусима и Такусиро Отиаи ( 1970 ) описали изоморфизмы областей Зигеля типов 1 и 2 и алгебру Ли автоморфизмов области Зигеля. В частности, две области Зигеля изоморфны тогда и только тогда, когда они изоморфны посредством аффинного преобразования.

j-алгебры

Предположим, что G — алгебра Ли транзитивной связной группы аналитических автоморфизмов ограниченной однородной области X , и пусть K — подалгебра, фиксирующая точку x . Тогда почти комплексная структура j на X индуцирует эндоморфизм векторного пространства j группы G такой, что

• дж ² =–1 – это G / K
• [ x , y ] + j [ jx , y ] + j [ x , jy ] – [ jx , jy ] = 0 в G / K ; это следует из того, что почти комплексная структура X интегрируема
• Существует линейная форма ω на G такая, что ω[ jx , jy ]=ω[ x , y ] и ω[ jx , x ]>0, если x ∉ K
• если L — компактная подалгебра в G такая, что jL ⊆ K + L, то L ⊆ K

j и -алгебра — это алгебра Ли G с подалгеброй K линейным отображением j, удовлетворяющими указанным выше свойствам.

Алгебра Ли связной группы Ли, действующей транзитивно на однородной ограниченной области, представляет собой j -алгебру, что неудивительно, поскольку j определено, что -алгебры обладают очевидными свойствами такой алгебры Ли. Верно и обратное: любая j -алгебра является алгеброй Ли некоторой транзитивной группы автоморфизмов однородной ограниченной области. Это не дает соответствия 1:1 между однородными ограниченными областями и j -алгебрами, поскольку однородная ограниченная область может иметь несколько различных групп Ли, действующих на ней транзитивно.

Ссылки

• Чу, Чо-Хо (2021), «Области Зигеля над симметричными конусами Финслера», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 778 : 145–169
• Кауп, Вильгельм; Мацусима, Ёзо; Очиаи, Такусиро (1970), «Об автоморфизмах и эквивалентностях обобщенных областей Зигеля», American Journal of Mathematics , 92 (2): 475–498, doi : 10.2307/2373335 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373335 , MR   0267127
• Мураками, Шинго (1972), Об автоморфизмах областей Зигеля , Конспект лекций по математике, том. 286, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058567 , ISBN.  978-3-540-05985-1 , МР   0364690
• Пятецкий-Шапиро, И.И. (1959), «Об одной задаче, предложенной Э. Картаном», Доклады Академии наук СССР , 124 : 272–273, ISSN   0002-3264 , MR   0101922
• Пятецкий-Шапиро И.И. (1959б), "Геометрия однородных областей и теория автоморфных функций. Решение одной задачи Э. Картана" , Успехи матем. Наук , 14 (3): 190–192.
• Пятецкий-Шапиро И.И. (1963), "Области типа верхней полуплоскости в теории многих комплексных переменных" , Тр. Интерн. Конгресс Математики (Стокгольм, 1962) (на русском языке), Дюрсхольм: Ин-т. Миттаг-Леффлер, стр. 389–396, MR   0176105 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.
• Пятецкий-Шапиро, II (1969) [1961], Автоморфные функции и геометрия классических областей , Математика и ее приложения, том. 8, Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science, ISBN.  9780677203102 , МР   0136770
• Сигел, Карл Людвиг (1939), «Введение в теорию модулярных функций n-й степени», Mathematical Annals , 116 : 617–657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN   0025-5831 , MR   0001251 , S2CID   124337559
• Винберг, Э.Б. (2001) [1994], «Домен Зигеля» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Винберг, Э. Б.; Гиндикин, С.Г.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1963), «Классификация и каноническая реализация комплексных однородных ограниченных областей», Труды Московского математического общества , 12 : 359–388, ISSN   0134-8663 , MR   0158415. Английский перевод есть в приложении к ( Пятецкий -Шапиро 1969 ).
• Сюй, Ичао (2005), Теория сложных однородных ограниченных областей , Математика и ее приложения, том. 569, Пекин: Science Press, ISBN.  978-1-4020-2132-9 , МР   2217650