Уменьшенная форма

В статистике , и особенно в эконометрике , приведенная форма системы уравнений является результатом решения системы для эндогенных переменных. Это дает последние как функции экзогенных переменных, если таковые имеются. В эконометрике уравнения структурной формы модели оцениваются в их теоретически заданной форме, в то время как альтернативный подход к оценке состоит в том, чтобы сначала решить теоретические уравнения для эндогенных переменных, чтобы получить уравнения приведенной формы, а затем оценить уравнения приведенной формы.

Пусть Y — вектор переменных, подлежащих объяснению (эндогенных переменных) с помощью статистической модели , а X — вектор объясняющих (экзогенных) переменных. Кроме того, пусть $\varepsilon$ быть вектором ошибок. Тогда общее выражение структурной формы будет $f(Y,X,\varepsilon )=0$, где f — функция, возможно, от векторов к векторам в случае модели с несколькими уравнениями. этой Сокращенная форма модели имеет вид $Y=g(X,\varepsilon )$, где g функция.

Структурные и редуцированные формы

Экзогенные переменные – это переменные, которые не определяются системой. Если мы предположим, что на спрос влияет не только цена, но и экзогенная переменная Z , мы можем рассмотреть структурную спроса и предложения модель .

поставлять:    $Q=a_{S}+b_{S}P+u_{S},$

требовать:   $Q=a_{D}+b_{D}P+cZ+u_{D},$

где условия $u_{i}$ являются случайными ошибками (отклонениями объемов предложения и спроса от тех, которые подразумеваются остальной частью каждого уравнения). Решая неизвестные (эндогенные переменные) P и Q , эту структурную модель можно переписать в сокращенной форме:

$Q=\pi _{10}+\pi _{11}Z+e_{Q},$

$P=\pi _{20}+\pi _{21}Z+e_{P},$

где параметры $\pi _{ij}$ зависят от параметров $a_{i},b_{i},c$ структурной модели, и где приведены ошибки приведенной формы $e_{i}$ каждый из них зависит от структурных параметров и от обеих структурных ошибок. что обе эндогенные переменные зависят от экзогенной переменной Z. Обратите внимание ,

Если модель приведенной формы оценивается с использованием эмпирических данных, получение оценочных значений коэффициентов $\pi _{ij},$ некоторые структурные параметры могут быть восстановлены: путем объединения двух уравнений сокращенной формы для исключения Z структурные коэффициенты модели стороны предложения ( $a_{S}$ и $b_{S}$) можно вывести:

$a_{S}=(\pi _{10}\pi _{21}-\pi _{11}\pi _{20})/\pi _{21},$

$b_{S}=\pi _{11}/\pi _{21}.$

Однако отметим, что это все еще не позволяет нам определить структурные параметры уравнения спроса. Для этого нам понадобится экзогенная переменная, которая включена в уравнение предложения структурной модели, но не в уравнение спроса.

Общий линейный случай

Пусть y — вектор-столбец эндогенных переменных M . В приведенном выше случае с Q и P мы имели M = 2. Пусть z — вектор-столбец K экзогенных переменных; в приведенном выше случае z из Z. состоял только Структурная линейная модель

$Ay=Bz+v,$

где $v$ – вектор структурных шоков, A и B – матрицы ; A — это квадратная матрица размера M × M , а B — это M × K. матрица Сокращенная форма системы:

$y=A^{-1}Bz+A^{-1}v=\Pi z+w,$

с вектором $w$ ошибок приведенной формы, каждая из которых зависит от всех структурных ошибок, где матрица A должна быть неособой, чтобы приведенная форма существовала и была уникальной. Опять же, каждая эндогенная переменная потенциально зависит от каждой экзогенной переменной.

Без ограничений на A и B коэффициенты A и B не могут быть идентифицированы на основе данных по y и z : каждая строка структурной модели представляет собой просто линейную зависимость между y и z с неизвестными коэффициентами. (Это снова проблема идентификации параметров .) M уравнений приведенной формы (строки матричного уравнения y = Π z выше) могут быть идентифицированы на основе данных, поскольку каждое из них содержит только одну эндогенную переменную.

См. также

• Модель одновременных уравнений # Структурная и приведенная форма
• Система линейных уравнений
• Одновременные уравнения
• «Сокращенная форма» также является подходом к моделированию кредитных спредов ; см. раздел «Модель Джарроу – Тернбулла» .

Дальнейшее чтение

• Догерти, Кристофер (2011). «Оценка одновременных уравнений». Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 331–353. ISBN  978-0-19-956708-9 .
• Гольдбергер, Артур С. (1964). «Оценка в приведенной форме и косвенный метод наименьших квадратов» . Эконометрическая теория . Нью-Йорк: Уайли. стр. 318–329 . ISBN  0-471-31101-4 .
• Кляйн, Лоуренс Р. (1974). «Системы регрессии линейных одновременных уравнений». Учебник эконометрики (второе изд.). Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. стр. 131–196. ISBN  0-13-912832-8 .
• Кмента, Ян (1986). Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 651–660 . ISBN  0-02-365070-2 .
• Вулдридж, Джеффри М. (2002). Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных . Кембридж: MIT Press. стр. 211–215 . ISBN  0-262-23219-7 .

Внешние ссылки

• Тома, Марк (18 февраля 2011 г.). «Лекция по эконометрике (тема: уравнения структурной и приведенной формы)» . Экономика 421/521 . Университет Орегона. Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. – на YouTube .