Азартные игры и теория информации

Статистические выводы можно рассматривать как теорию азартных игр, применимую к окружающему нас миру. Множество применений логарифмических информационных мер точно подскажут нам, как сделать наилучшее предположение в условиях неполной информации. ^[1] В этом смысле теорию информации можно считать формальным выражением теории азартных игр. Поэтому неудивительно, что теория информации находит применение в азартных играх. ^[2]

Келли Беттинг [ править ]

Ставки Келли или пропорциональные ставки — это применение теории информации к инвестированию и азартным играм . Его первооткрывателем был Джон Ларри Келли-младший .

Часть идеи Келли заключалась в том, чтобы игрок максимизировал ожидание логарифма своего капитала, а не ожидаемую прибыль от каждой ставки. Это важно, поскольку в последнем случае человек будет вынужден поставить на карту все, что у него есть, если ему будет предложена выгодная ставка, и если он проиграет, у него не будет капитала, на который можно будет сделать последующие ставки. Келли понял, что это логарифм капитала игрока, который является аддитивным при последовательных ставках и «к которому применим закон больших чисел».

Дополнительная информация [ править ]

Бит — это количество энтропии в событии, на которое можно сделать ставку, с двумя возможными исходами и равными коэффициентами. Очевидно, мы могли бы удвоить наши деньги, если бы заранее знали наверняка, каким будет результат этого события. Идея Келли заключалась в том, что независимо от того, насколько сложен сценарий ставок, мы можем использовать оптимальную стратегию ставок, называемую критерием Келли , чтобы наши деньги росли в геометрической прогрессии, используя любую дополнительную информацию, которую мы можем получить. Ценность этой «незаконной» дополнительной информации измеряется как взаимная информация относительно исхода события, на котором можно сделать ставку:

{\begin{aligned}I(X;Y)&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|Y)\|P(X|I){\big )}\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|{\textrm {side}}\ {\textrm {information}}\ Y)\|P(X|{\textrm {stated}}\ {\textrm {odds}}\ I){\big )}\},\end{aligned}}

где Y — дополнительная информация, X — результат события, на котором делается ставка, а I — уровень знаний букмекера. Это среднее расхождение Кульбака-Лейблера прирост информации апостериорного распределения вероятностей X с учетом значения Y относительно априорного распределения или заявленных шансов на X. или Обратите внимание, что ожидание учитывается по Y, а не по X : нам нужно оценить, насколько точной в долгосрочной перспективе является наша дополнительная информация Y реальными деньгами , прежде чем мы начнем делать ставки на X . Это прямое применение байесовского вывода . Обратите внимание, что дополнительная информация Y может повлиять не только на наши знания о событии X, но и на само событие. Например, Y может быть лошадью, у которой было слишком много овса или недостаточно воды. В этом случае применяется та же самая математика, потому что с точки зрения букмекера случайные договорные гонки уже учитываются, когда он делает свои ставки.

Характер дополнительной информации крайне привередлив. Мы уже видели, что это может повлиять на само событие, а также на наше знание его результата. Предположим, у нас есть информатор, который сообщает нам, что победит определенная лошадь. Мы, конечно, не хотим ставить все наши деньги на эту лошадь только на основе слухов: этот информатор может делать ставку на другую лошадь и распространять слухи только для того, чтобы самому получить более высокие шансы. Вместо этого, как мы указывали, нам необходимо оценить нашу дополнительную информацию в долгосрочной перспективе, чтобы увидеть, как она коррелирует с результатами гонок. Таким образом, мы можем точно определить, насколько надежен наш информер, и делать ставки именно так, чтобы максимизировать ожидаемый логарифм нашего капитала по критерию Келли. Даже если наш информатор лжет нам, мы все равно можем извлечь выгоду из его лжи, если сможем найти некоторую обратную корреляцию между его советами и реальными результатами гонок.

Скорость удвоения [ править ]

Удвоение ставки при игре на скачках составляет ^[3]

W(b,p)=\mathbb {E} [\log _{2}S(X)]=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\log _{2}b_{i}o_{i}

где есть $m$ лошадей, вероятность $i$ существо-победитель $p_{i}$ , доля богатства, поставленная на лошадь, равна $b_{i}$ , а шансы (выплата) равны $o_{i}$ (например, $o_{i}=2$ если $i$ выигрыш й лошади приносит двойную сумму ставки). Это количество максимизируется за счет пропорциональной игры (по Келли):

b=p\,

для чего

\max _{b}W(b,p)=\sum _{i}p_{i}\log _{2}o_{i}-H(p)\,

где $H(p)$ это информационная энтропия .

прибыль Ожидаемая

Существует важная, но простая связь между количеством дополнительной информации, которую получает игрок, и ожидаемым экспоненциальным ростом его капитала (Келли):

\mathbb {E} \log K_{t}=\log K_{0}+\sum _{i=1}^{t}H_{i}

для оптимальной стратегии ставок, где $K_{0}$ это первоначальный капитал, $K_{t}$ является капиталом после t -й ставки, и $H_{i}$ — количество дополнительной информации, полученной относительно i- й ставки (в частности, взаимной информации относительно исхода каждого выигрышного события). Это уравнение применимо при отсутствии каких-либо транзакционных издержек или минимальных ставок. Когда эти ограничения применяются (как это неизменно происходит в реальной жизни), в игру вступает еще одна важная концепция азартных игр: игрок (или недобросовестный инвестор) должен столкнуться с определенной вероятностью окончательного разорения, которая известна как сценарий разорения игрока . Обратите внимание, что даже еда, одежда и жилье могут считаться фиксированными транзакционными издержками и, таким образом, повышают вероятность окончательного разорения игрока.

Это уравнение было первым применением теории информации Шеннона за пределами преобладающей парадигмы передачи данных (Пирс).

Приложения для самостоятельного информирования [ править ]

Сюрприз и доказательства в битах, как логарифмические меры вероятности и шанса соответственно.

Логарифмическая вероятностная мера самоинформации или неожиданности, ^[4] среднее значение которого представляет собой информационную энтропию /неопределенность, а средняя разность — KL-дивергенцию , само по себе имеет применение к анализу шансов. Его две основные сильные стороны заключаются в том, что сюрпризы: (i) уменьшают мизерные вероятности до чисел управляемого размера и (ii) добавляются всякий раз, когда вероятности умножаются.

Например, можно сказать, что «количество состояний равно двум количеству битов», т.е. #states = 2. ^#биты. Здесь величина, измеряемая в битах, является упомянутой выше логарифмической мерой информации. Следовательно, при первом броске N монет выпадет все решки, и это будет N сюрпризов.

Аддитивный характер сюрпризов и способность человека почувствовать их значение с помощью горстки монет могут помочь поместить невероятные события (например, выигрыш в лотерею или несчастный случай) в контекст. Например, если один из 17 миллионов билетов окажется выигрышным, то вероятность выигрыша в результате одного случайного выбора составит около 24 битов. Подбросив 24 монеты несколько раз, вы можете почувствовать удивление, когда с первой попытки выпадает все решки.

Аддитивный характер этой меры также полезен при взвешивании альтернатив. Например, представьте, что размер неожиданного вреда от прививки составляет 20 бит. Если вероятность заражения болезнью без нее составляет 16 бит, а вероятность вреда от болезни, если вы ее заразились, равна 2 битам, то вероятность вреда от НЕ получения вакцинации составляет всего 16+2=18 бит. Независимо от того, решите ли вы сделать прививку или нет (например, денежные затраты на ее оплату не включены в это обсуждение), таким образом вы можете, по крайней мере, взять на себя ответственность за решение, основанное на том факте, что отказ от вакцинации предполагает нечто большее, чем просто отказ от вакцинации. немного дополнительного риска.

В более общем смысле, можно связать вероятность p с битами неожиданных битов как вероятность = 1/2. ^кусает. Как было сказано выше, это в основном полезно при малых вероятностях. Однако Джейнс отметил, что с помощью истинно-ложных утверждений можно также определить биты доказательств как сюрприз против минус сюрприз для. Это свидетельство в битах относится просто к отношению шансов = p/(1-p) = 2. ^ебитыи имеет преимущества, аналогичные преимуществам самоинформирования.

Приложения в азартных играх [ править ]

Теорию информации можно рассматривать как способ количественной оценки информации, позволяющий принять лучшее решение в условиях несовершенства информации. То есть, как принять лучшее решение, используя только имеющуюся у вас информацию. Смысл ставок состоит в том, чтобы рационально оценить все соответствующие переменные неопределенной игры/гонки/матча, а затем сравнить их с оценками букмекерской конторы, которые обычно выражаются в форме коэффициентов или спредов. сделайте правильную ставку, если оценки существенно различаются. ^[5] Область азартных игр, где это находит наибольшее применение, — это ставки на спорт. Спортивный гандикап чрезвычайно хорошо поддается теории информации благодаря доступности статистики. На протяжении многих лет известные экономисты проверяли различные математические теории, используя спорт в качестве своей лаборатории, и получали совершенно разные результаты.

Одна из теорий относительно ставок на спорт заключается в том, что это случайное блуждание . Случайное блуждание — это сценарий, в котором новая информация, цены и доходность будут колебаться случайно, это часть гипотезы эффективного рынка . В основе гипотезы эффективного рынка лежит убеждение, что рынок всегда будет корректировать любую новую информацию. Следовательно, никто не может победить рынок, потому что они торгуют на той же информации, на основе которой скорректировался рынок. Однако, по словам Фамы, ^[6] Чтобы иметь эффективный рынок, необходимо соответствовать трем качествам:

Транзакционные издержки при торговле ценными бумагами отсутствуют.
Вся имеющаяся информация без каких-либо затрат доступна всем участникам рынка.
Все согласны с тем, как текущая информация влияет на текущую цену и распределение будущих цен каждой ценной бумаги.

Статистики показали, что именно третье условие позволяет теории информации быть полезной при спортивном гандикапе. Когда все не согласны с тем, как информация повлияет на результат мероприятия, мы получаем разные мнения.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Джейнс, ET (1998/2003) Теория вероятностей: логика науки (Cambridge U. Press, Нью-Йорк).
^ Келли, Дж. Л. (1956). «Новая интерпретация скорости передачи информации» (PDF) . Технический журнал Bell System . 35 (4): 917–926. дои : 10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x . Архивировано из оригинала (PDF) 27 апреля 2019 г. Проверено 05 сентября 2019 г.
^ Томас М. Кавер , Джой А. Томас. Элементы теории информации , 1-е издание. Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 1991. ISBN 0-471-06259-6 , Глава 6.
^ Трибус, Майрон (1961) Термодинамика и термостатика: введение в энергию, информацию и состояния материи с инженерными приложениями (D. Van Nostand Company Inc., 24 West 40 Street, New York 18, New York, США) ASIN: Б000АРШ5С.
^ Хансен, Кристен Бринч. (2006) Ставки на спорт с точки зрения поведенческих финансов. Архивировано 20 сентября 2018 г. в Wayback Machine (Школа бизнеса Орхуса).
^ Фама, Э. Ф. (1970) «Эффективные рынки капитала: обзор теории и независимой работы», Журнал финансовой экономики, том 25, 383-417.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Джейнс, ET (1998/2003) Теория вероятностей: логика науки (Cambridge U. Press, Нью-Йорк).

[2] Келли, Дж. Л. (1956). «Новая интерпретация скорости передачи информации» (PDF) . Технический журнал Bell System . 35 (4): 917–926. дои : 10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x . Архивировано из оригинала (PDF) 27 апреля 2019 г. Проверено 05 сентября 2019 г.

[3] Томас М. Кавер , Джой А. Томас. Элементы теории информации , 1-е издание. Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 1991. ISBN 0-471-06259-6 , Глава 6.

[4] Трибус, Майрон (1961) Термодинамика и термостатика: введение в энергию, информацию и состояния материи с инженерными приложениями (D. Van Nostand Company Inc., 24 West 40 Street, New York 18, New York, США) ASIN: Б000АРШ5С.

[5] Хансен, Кристен Бринч. (2006) Ставки на спорт с точки зрения поведенческих финансов. Архивировано 20 сентября 2018 г. в Wayback Machine (Школа бизнеса Орхуса).

[6] Фама, Э. Ф. (1970) «Эффективные рынки капитала: обзор теории и независимой работы», Журнал финансовой экономики, том 25, 383-417.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]