уравнение Гессе

В математике k -уравнения Гессиана (или уравнения Гессиана для краткости ) представляют собой уравнения в частных производных (ЧДУ), основанные на матрице Гессе . Более конкретно, уравнение Гессе - это k -след или k- й элементарный симметричный полином собственных значений матрицы Гессе. Когда k ≥ 2, k -уравнение Гессиана является полностью нелинейным уравнением в частных производных. Это можно записать как ${\cal {S}}_{k}[u]=f$, где $1\leqslant k\leqslant n$, ${\cal {S}}_{k}[u]=\sigma _{k}(\lambda ({\cal {D}}^{2}u))$, и $\lambda ({\cal {D}}^{2}u)=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n})$, – собственные значения матрицы Гессе ${\cal {D}}^{2}u=[\partial _{i}\partial _{j}u]_{1\leq i,j\leq n}$ и $\sigma _{k}(\lambda )=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\lambda _{i_{1}}\cdots \lambda _{i_{k}}$, представляет собой $k$ элементарный симметричный полином.

Подобно тому, как дифференциальные уравнения часто изучают действия дифференциальных операторов (например, эллиптических операторов и эллиптических уравнений ), уравнения Гессе можно понимать как просто уравнения на собственные значения, на которые действует дифференциальный оператор Гессе. К частным случаям относится уравнение Монжа – Ампера. и уравнение Пуассона (лапласиан является следом матрицы Гессе). оператор 2- Гессиана также появляется в задачах конформного отображения. Фактически, уравнение 2− Гессиана незнакомо за пределами римановой геометрии и теории эллиптической регулярности, которая тесно связана с оператором скалярной кривизны, который обеспечивает внутреннюю кривизну трехмерного многообразия.

Эти уравнения представляют интерес для геометрических УЧП (подполе на границе между геометрическим анализом и УЧП) и дифференциальной геометрии .

Дальнейшее чтение

• Каффарелли, Л.; Ниренберг, Л.; Спрук, Дж. (1985), «Задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, III: Функции собственных значений гессиана» (PDF) , Acta Mathematica , 155 (1): 261–301, doi : 10.1007/BF02392544 .