поверхность ПДЭ

Поверхности PDE используются в геометрическом моделировании и компьютерной графике для создания гладких поверхностей, соответствующих заданной конфигурации границ. Поверхности PDE используют уравнения в частных производных для создания поверхности, которая обычно удовлетворяет математической краевой задаче .

Поверхности PDE были впервые представлены в области геометрического моделирования и компьютерной графики двумя британскими математиками, Малкольмом Блуром и Майклом Уилсоном.

Технические детали

Метод УЧП предполагает создание поверхности для некоторой границы путем решения эллиптического уравнения в частных производных вида

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\right)^{2}X(u,v)=0.$

Здесь $X(u,v)$ это функция, параметризованная двумя параметрами $u$ и $v$ такой, что $X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ где $x$, $y$ и $z$ являются обычным декартовым координатным пространством. Граничные условия на функции $X(u,v)$ и его нормальные производные $\partial {X}/\partial {n}$ накладываются по краям поверхностного участка.

Принимая во внимание приведенную выше формулировку, примечательно, что эллиптический оператор в частных производных в приведенном выше УЧП представляет собой процесс сглаживания, в котором значение функции в любой точке поверхности является в некотором смысле взвешенным средним значением окружающих ценности. Таким образом, поверхность получается как плавный переход между выбранный набор граничных условий . Параметр $a$ — это специальный параметр конструкции, который контролирует относительное сглаживание поверхности в $u$ и $v$ направления.

Когда $a=1$, УЧП представляет собой бигармоническое уравнение : $X_{uuuu}+2X_{uuvv}+X_{vvvv}=0$. Бигармоническое уравнение - это уравнение, полученное путем применения уравнения Эйлера-Лагранжа к упрощенному функционалу энергии тонкой пластины. $X_{uu}^{2}+2X_{uv}^{2}+X_{vv}^{2}$. Итак, решение PDE с помощью $a=1$ эквивалентно минимизации функционала энергии тонкой пластины при тех же граничных условиях.

Приложения

Поверхности PDE можно использовать во многих областях применения. К ним относятся компьютерное проектирование , интерактивное проектирование, параметрическое проектирование, компьютерная анимация , компьютерный физический анализ и оптимизация дизайна.

Похожие публикации

1. МИГ Блур и М.Дж. Уилсон, Создание поверхностей сглаживания с использованием уравнений в частных производных , Компьютерное проектирование, 21(3), 165–171, (1989).
2. Х. Угейл , М.И.Г. Блур и М.Дж. Уилсон, Методы интерактивного проектирования с использованием метода PDE , Транзакции ACM в графике , 18(2), 195–212, (1999).
3. Дж. Хабанд, В. Ли и Р. Смит, Явное представление модели поверхности PDE Блура-Уилсона с использованием канонического базиса для интерполяции Эрмита , Математическая инженерия в промышленности, 7 (4), 421-33 (1999).
4. Х. Ду и Х. Цинь, Прямое манипулирование и интерактивное моделирование поверхностей PDE , Форум компьютерной графики, 19 (3), C261-C270, (2000).
5. Х. Угейл, Параметризация формы на основе позвоночника для поверхностей PDE , Computing, 72, 195–204, (2004).
6. Л. Ю, П. Комнинос, Дж. Дж. Чжан, Поверхности сопряжения PDE с непрерывностью C2 , Компьютеры и графика, 28 (6), 895–906, (2004).

Внешние ссылки

• Проектирование на основе моделирования, исследование DVE (Университет Брэдфорда, Великобритания) . (Java-апплет, демонстрирующий свойства поверхностей PDE)
• Кафедра прикладной математики Университета Лидса подробно рассказывает о работе Блура и Уилсона.