$3 х + 1$ полугруппа

В алгебре полугруппа $3 x + 1$ является специальной подполугруппой мультипликативной полугруппы всех положительных рациональных чисел . ^{[ 1 ]} Элементы порождающего множества этой полугруппы связаны с последовательностью чисел, участвующих в все еще открытой гипотезе Коллатца или «проблеме 3 x + 1». Полугруппа 3 x + 1 использовалась для доказательства более слабой формы гипотезы Коллатца. Фактически, именно в таком контексте концепция полугруппы 3 x + 1 была введена Х. Фаркасом в 2005 году. ^{[ 2 ]} Построены различные обобщения полугруппы 3 x + 1 и исследованы их свойства. ^{[ 3 ]}

Определение

Полугруппа 3 x + 1 — это мультипликативная полугруппа положительных рациональных чисел, порожденная множеством

\{2\}\cup \left\{{\frac {2k+1}{3k+2}}:k\geq 0\right\}=\left\{2,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {7}{11}},\ldots \right\}.

Функция $T:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ как определено ниже, используется в «сокращенном» определении гипотезы Коллатца :

T(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\[4px]{\frac {3n+1}{2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}

Гипотеза Коллатца утверждает, что для каждого натурального числа $n$ , есть некоторая итерация $T$ с самим собой, что отображает $n$ до 1, то есть существует некоторое целое число $k$ такой, что $T^{(k)}(n)=1$ . Например, если $n=7$ тогда значения $T^{(k)}(n)$ для $k=1,2,3,...$ 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 и $T^{(11)}(7)=1$ .

Связь между полугруппой 3 x + 1 и гипотезой Коллатца состоит в том, что полугруппа 3 x + 1 также порождается множеством

\left\{{\dfrac {n}{T(n)}}:n>0\right\}.

Слабая гипотеза Коллатца

Слабая гипотеза Коллатца утверждает следующее: «Полугруппа 3 x + 1 содержит каждое положительное целое число». Это было сформулировано Фаркашем, и это было доказано как следствие следующего свойства полугруппы 3 x + 1: ^{[ 1 ]}

Полугруппа 3 x + 1 S равна множеству всех положительных рациональных чисел. ⁠ a b ⁠ в самых низких терминах, обладающий свойством b ≠ 0 (mod 3). В частности, S содержит каждое положительное целое число.

Дикая полугруппа

Полугруппа, порожденная множеством

\left\{{\frac {1}{2}}\right\}\cup \left\{{\frac {3k+2}{2k+1}}:k\geq 0\right\},

который также генерируется набором

\left\{{\frac {T(n)}{n}}:n>0\right\},

называется дикой полугруппой. Целые числа в дикой полугруппе состоят из всех целых чисел m таких, что m ≠ 0 (mod 3). ^{[ 4 ]}

См. также

Дикое число

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Эпплгейт, Дэвид ; Лагариас, Джеффри К. (2006). « $Полугруппа 3 х + 1$ ». Журнал теории чисел . 117 (1): 146–159. дои : 10.1016/j.jnt.2005.06.010 . МР 2204740 .
^ Х. Фаркас (2005). «Варианты проблемы 3 N + 1 и мультипликативные полугруппы», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика: Труды памяти Роберта Брукса . Спрингер.
^ Ана Караиани. «Мультипликативные полугруппы, связанные с проблемой 3x+1» (PDF) . Принстонский университет . Проверено 17 марта 2016 г.
^ Дж. К. Лагариас (2006). «Дикие числа и числа Вули» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (2): 97–108. дои : 10.2307/27641862 . JSTOR 27641862 . Проверено 18 марта 2016 г.

[Applegate-1] Jump up to: ^а ^б Эпплгейт, Дэвид ; Лагариас, Джеффри К. (2006). « $Полугруппа 3 х + 1$ ». Журнал теории чисел . 117 (1): 146–159. дои : 10.1016/j.jnt.2005.06.010 . МР 2204740 .

[2] Х. Фаркас (2005). «Варианты проблемы 3 N + 1 и мультипликативные полугруппы», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика: Труды памяти Роберта Брукса . Спрингер.

[Ana-3] Ана Караиани. «Мультипликативные полугруппы, связанные с проблемой 3x+1» (PDF) . Принстонский университет . Проверено 17 марта 2016 г.

[4] Дж. К. Лагариас (2006). «Дикие числа и числа Вули» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (2): 97–108. дои : 10.2307/27641862 . JSTOR 27641862 . Проверено 18 марта 2016 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]