Теорема Гаека – Ле Кама о свертке

В статистике теорема о свертке Хайека -Ле Кама утверждает, что любая регулярная оценка в параметрической модели асимптотически эквивалентна сумме двух независимых случайных величин, одна из которых является нормальной с асимптотической дисперсией, равной обратной информации Фишера , а другая имеющие произвольное распределение.

Очевидным следствием этой теоремы является то, что «лучшими» среди регулярных оценок являются те, у которых вторая компонента тождественно равна нулю. Такие оценки называются эффективными и, как известно, всегда существуют для регулярных параметрических моделей .

Теорема названа в честь Ярослава Гаека и Люсьена Ле Кама .

Заявление

Пусть ℘ = { P _θ | θ ∈ Θ ⊂ ℝ ^к } — регулярная параметрическая модель и q ( θ ): Θ → i ^м быть параметром в этой модели (обычно параметр — это всего лишь один из компонентов вектора θ ). Предположим, что функция q дифференцируема на Θ, причем m × k матрица производных размера обозначается как q̇ _θ . Определять

$I_{q(\theta )}^{-1}={\dot {q}}(\theta )I^{-1}(\theta ){\dot {q}}(\theta )'$ — информация, связанная с q ,

$\psi _{q(\theta )}={\dot {q}}(\theta )I^{-1}(\theta ){\dot {\ell }}(\theta )$ — эффективная функция влияния на q ,

где I ( θ ) — информационная матрица Фишера для модели ℘, $\scriptstyle {\dot {\ell }}(\theta )$ является оценочной функцией , а ′ обозначает транспонирование матрицы .

Теорема ( Bickel 1998 , Th.2.3.1). Предположим, что — _Tn равномерно (локально) регулярная оценка параметра q . Затем

1. Существуют независимые случайные m -векторы $\scriptstyle Z_{\theta }\,\sim \,{\mathcal {N}}(0,\,I_{q(\theta )}^{-1})$ и Δ _θ такие, что

   ${\sqrt {n}}(T_{n}-q(\theta ))\ {\xrightarrow {d}}\ Z_{\theta }+\Delta _{\theta },$

   где ^д обозначает сходимость распределения . Более конкретно,

   ${\begin{pmatrix}{\sqrt {n}}(T_{n}-q(\theta ))-{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\psi _{q(\theta )}(x_{i})\\{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\psi _{q(\theta )}(x_{i})\end{pmatrix}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\begin{pmatrix}\Delta _{\theta }\\Z_{\theta }\end{pmatrix}}.$

2. Если отображение θ → q̇ _θ непрерывно, то сходимость в (A) выполняется равномерно на компактных подмножествах Θ. Более того, в этом случае Δ _θ = 0 для всех θ тогда и только тогда, когда T _n равномерно (локально) асимптотически линейна с функцией влияния ψ _{q ( θ )}

Ссылки

• Бикель, Питер Дж.; Клаассен, Крис Эй Джей; Ритов, Яаков; Веллнер Джон А. (1998). Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98473-9 .