тест Дурбина

Тест Дурбина — это непараметрический статистический тест для сбалансированных неполных планов, который сводится к тесту Фридмана в случае полного блочного плана . При анализе запланированных экспериментов критерий Фридмана является наиболее распространенным непараметрическим тестом для полных блочных планов.

Фон

В схеме рандомизированных блоков k блокам применяется к b процедур . При полном блочном проектировании каждая обработка выполняется для каждого блока, а данные упорядочиваются следующим образом:

	Лечение 1	Лечение 2	$\cdots$	Лечение к
Блок 1	х ₁₁	х ₁₂	$\cdots$	х _{1 тыс.}
Блок 2	х ₂₁	х ₂₂	$\cdots$	х _{2 тыс.}
Блок 3	х ₃₁	х ₃₂	$\cdots$	х _{3 тыс.}
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
Блок Б	х _{б 1}	Х _{б 2}	$\cdots$	х _{б к}

Для некоторых экспериментов может быть нереально провести все обработки во всех блоках, поэтому может потребоваться выполнить неполный дизайн блока . В этом случае настоятельно рекомендуется запустить сбалансированный неполный дизайн . Сбалансированная неполная блочная конструкция обладает следующими свойствами:

Каждый блок содержит k экспериментальных единиц.
Каждое лечение отображается в r блоках.
Каждое лечение появляется вместе с каждым другим лечением одинаковое количество раз.

Тестовые предположения

Тест Дурбина основан на следующих предположениях:

Блоки b взаимно независимы. Это означает, что результаты в одном блоке не влияют на результаты в других блоках.
Данные могут быть значимо ранжированы (т. е. данные имеют по крайней мере порядковую шкалу ).

Определение теста

Пусть R ( X _ij ) будет рангом, присвоенным X _ij внутри блока i (т. е. рангами в пределах данной строки). В случае ничьей используются средние ранги. Ранги суммируются для получения

R_{j}=\sum _{i=1}^{b}R(X_{ij})

Затем проводится тест Дурбина.

H ₀ : Эффекты лечения идентичны.

H _a : По крайней мере, один метод лечения отличается, по крайней мере, от одного другого метода лечения.

Статистика теста

T_{2}={\frac {T_{1}/\left(t-1\right)}{\left(bk-b-T_{1}\right)/\left(bk-b-t+1\right)}}

где

T_{1}={\frac {t-1}{A-C}}\left(\sum _{j=1}^{t}R_{j}^{2}-rC\right)

A=\sum _{i=1}^{b}\sum _{j=1}^{k}R(X_{ij})^{2}

C={\frac {1}{4}}bk\left(k+1\right)^{2}

где t — количество процедур, k — количество процедур на блок, b — количество блоков, а r — количество раз, когда появляется каждое лечение.

Для уровня значимости α критическая область определяется выражением

T_{2}>F_{\alpha ,k-1,bk-b-t+1}

где F _{α, k − 1, bk − b − t + 1} обозначает α- квантиль распределения F с k − 1 степенями свободы в числителе и bk − b − t + 1 степенями свободы в знаменателе. Нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая статистика находится в критической области. Если гипотеза об идентичных эффектах лечения отвергается, часто желательно определить, какие методы лечения различаются (т. е. провести множественные сравнения ). Процедуры i и j считаются разными, если

|R_{j}-R_{i}|>t_{1-\alpha /2,bk-b-t+1}{\sqrt {{\frac {2\left(A-C\right)r}{bk-k-t+1}}\left(1-{\frac {T_{1}}{b\left(k-1\right)}}\right)}}

где R _j и R _i — сумма столбцов рангов внутри блоков, t _{1 − α/2, bk — b — t + 1} обозначает 1 — α/2-квантиль t-распределения с bk — b — t + 1 степень свободы.

Историческая справка

T ₁ была исходной статистикой, предложенной Джеймсом Дурбином , которая имела приблизительное нулевое распределение $\chi _{t-1}^{2}$ (то есть хи-квадрат с $t-1$ степени свободы). Статистика T ₂ имеет несколько более точные критические области, поэтому теперь она является предпочтительной статистикой. Статистика T ₂ представляет собой двусторонний анализ статистики дисперсии, рассчитанной на рангах R ( X _ij ).

Связанные тесты

Q-критерий Кокрена применяется для особого случая переменной бинарного отклика (т. е. такой, которая может иметь только один из двух возможных результатов). Критерий Q Кокрана действителен только для проектов с полным блоком.

См. также

Ссылки

Коновер, WJ (1999). Практическая непараметрическая статистика (Третье изд.). Уайли. стр. 388–395. ISBN 0-471-16068-7 .

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.