Уравнение Торричелли

Чтобы узнать о других значениях, см. Торричелли .

В физике уравнение Торричелли , или формула Торричелли , — это уравнение, созданное Евангелистой Торричелли для нахождения конечной скорости движущегося объекта с постоянным ускорением вдоль оси (например, оси x) без известного интервала времени.

Само уравнение:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x\,$

где

• $v_{f}$ объекта - конечная скорость вдоль оси x, по которой ускорение постоянно.
• $v_{i}$ — начальная скорость объекта вдоль оси x.
• $a$ объекта — ускорение вдоль оси x, которое задается как константа.
• $\Delta x\,$ — это изменение положения объекта вдоль оси X, также называемое смещением .

В этом и всех последующих уравнениях этой статьи нижний индекс $x$ (как в ${v_{f}}_{x}$) подразумевается, но не выражается явно для ясности представления уравнений.

Это уравнение справедливо вдоль любой оси, по которой ускорение постоянно.

Вывод

Без дифференциалов и интегрирования

Начнем с определения ускорения:

$a={\frac {v_{f}-v_{i}}{\Delta t}}$

где ${\textstyle \Delta t}$ это временной интервал. Это верно, потому что ускорение постоянно. Левая часть — это постоянное значение ускорения, а правая — среднее ускорение . Поскольку среднее значение константы должно быть равно значению константы, мы имеем это равенство. Если бы ускорение не было постоянным, это было бы неверно.

Теперь определите конечную скорость:

$v_{f}=v_{i}+a\Delta t\,\!$

Возведите обе стороны в квадрат, чтобы получить:

$v_{f}^{2}=(v_{i}+a\Delta t)^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+a^{2}(\Delta t)^{2}\,\!$ ( 1 )

Термин $(\Delta t)^{2}\,\!$ появляется также в другом уравнении, справедливом для движения с постоянным ускорением: в уравнении конечного положения объекта, движущегося с постоянным ускорением, и его можно выделить:

$x_{f}=x_{i}+v_{i}\Delta t+a{\frac {(\Delta t)^{2}}{2}}$

$x_{f}-x_{i}-v_{i}\Delta t=a{\frac {(\Delta t)^{2}}{2}}$

$(\Delta t)^{2}=2{\frac {x_{f}-x_{i}-v_{i}\Delta t}{a}}=2{\frac {\Delta x-v_{i}\Delta t}{a}}$ ( 2 )

Подстановка ( 2 ) в исходное уравнение ( 1 ) дает:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+a^{2}\left(2{\frac {\Delta x-v_{i}\Delta t}{a}}\right)$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+2a(\Delta x-v_{i}\Delta t)$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+2a\Delta x-2av_{i}\Delta t\,\!$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x\,\!$

Использование дифференциалов и интегрирования

Начнем с определения ускорения как производной скорости:

$a={\frac {dv}{dt}}$

Теперь умножаем обе части на скорость ${\textstyle v}$:

$v\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}$

В левой части мы можем переписать скорость как производную положения:

${\frac {dx}{dt}}\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}$

Умножив обе части на ${\textstyle dt}$ дает нам следующее:

$dx\cdot a=v\cdot dv$

Перестановка терминов более традиционным способом:

$a\,dx=v\,dv$

Интегрирование обеих сторон с начального момента с позицией ${\textstyle x_{i}}$ и скорость ${\textstyle v_{i}}$ до последнего момента с позицией ${\textstyle x_{f}}$ и скорость ${\textstyle v_{f}}$:

$\int _{x_{i}}^{x_{f}}{a}\,dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv$

Поскольку ускорение постоянно, мы можем исключить его из интегрирования:

${a}\int _{x_{i}}^{x_{f}}dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv$

Решение интеграции:

${a}{\bigg [}x{\bigg ]}_{x=x_{i}}^{x=x_{f}}=\left[{\frac {v^{2}}{2}}\right]_{v=v_{i}}^{v=v_{f}}$

${a}\left(x_{f}-x_{i}\right)={\frac {v_{f}^{2}}{2}}-{\frac {v_{i}^{2}}{2}}$

Фактор ${\textstyle x_{f}-x_{i}}$ это смещение ${\textstyle \Delta x}$:

$a\Delta x={\frac {1}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)$

$2a\Delta x=v_{f}^{2}-v_{i}^{2}$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x$

Из теоремы о работе энергии

Теорема о работе работы утверждает, что

$\Delta E_{K}=W$

${\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=F\Delta x$

что, согласно Ньютона второму закону движения , становится

${\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=ma\Delta x$

$v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\Delta x$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x$

См. также

• Уравнение движения

Внешние ссылки

• Теорема Торричелли