Модель гистерезиса Бука – Вэня

В строительной инженерии представляет модель гистерезиса Бука-Вэна собой гистерезисную модель, обычно используемую для описания нелинейных гистерезисных систем. Его представил Роберт Бук. и расширен И-Квэй Вэнем, который продемонстрировал его универсальность, создав множество гистерезисных моделей. Эта модель способна в аналитической форме отразить ряд форм гистерезисных циклов, соответствующих поведению широкого класса гистерезисных систем. Благодаря своей универсальности и математической доступности модель Бука – Вена приобрела популярность. Он был расширен и применен к широкому кругу инженерных задач, включая системы с несколькими степенями свободы (MDOF), здания, каркасы, двунаправленную и крутильную реакцию гистерезисных систем, двух- и трехмерные континуумы, разжижение почвы и базовой изоляции системы . Модель Бука-Вэна, ее варианты и расширения использовались в структурном контроле, в частности, при моделировании поведения магнитореологических демпферов, устройств изоляции основания зданий и других видов демпфирующих устройств . Он также использовался при моделировании и анализе конструкций, построенных из железобетона , стали , каменной кладки и древесины.

Формулировка модели

Рассмотрим уравнение движения системы с одной степенью свободы (sdof):

$m{\ddot {u}}(t)+c{\dot {u}}(t)+F(t)=f(t)$ ( Уравнение 1 )

здесь, $\textstyle m$ представляет собой массу, $\textstyle u(t)$ это смещение, $\textstyle c$ коэффициент линейного вязкого демпфирования, $\textstyle F(t)$ восстанавливающая сила и $\textstyle f(t)$ сила возбуждения, а лишняя точка обозначает производную по времени.

Согласно модели Бука–Вэня восстанавливающая сила выражается как:

$F(t)=ak_{i}u(t)+(1-a)k_{i}z(t)$ ( Уравнение 2 )

где $\textstyle a:={\frac {k_{f}}{k_{i}}}$ это соотношение пост-доходности $\textstyle k_{f}$ до предварительной доходности (эластичный) $\textstyle k_{i}:={\frac {F_{y}}{u_{y}}}$ жесткость, $\textstyle F_{y}$ это сила текучести, $\textstyle u_{y}$ смещение текучести и $\textstyle z(t)$ ненаблюдаемый гистерезисный параметр (обычно называемый гистерезисным смещением ), который подчиняется следующему нелинейному дифференциальному уравнению с нулевым начальным условием ( $\textstyle z(0)=0$), и имеет размеры длины:

${\dot {z}}(t)=A{\dot {u}}(t)-\beta |{\dot {u}}(t)||z(t)|^{n-1}z(t)-\gamma {\dot {u}}(t)|z(t)|^{n}$ ( Уравнение 3 )

или просто как:

${\dot {z}}(t)={\dot {u}}(t)\left\{A-\left[\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\gamma \right]|z(t)|^{n}\right\}$ ( Уравнение 4 )

где $\textstyle \operatorname {sign}$ обозначает сигнум -функцию, а $\textstyle A$, $\textstyle \beta >0$, $\textstyle \gamma$ и $\textstyle n$ – безразмерные величины, управляющие поведением модели ( $\textstyle n=\infty$ восстанавливает упругопластический гистерезис). Учтите, что в оригинальной статье Вэня (1976) $\textstyle \beta$ называется $\textstyle \alpha$, и $\textstyle \gamma$ называется $\textstyle \beta$. В настоящее время обозначения варьируются от бумаги к бумаге, и очень часто места $\textstyle \beta$ и $\textstyle \gamma$ обмениваются. Здесь обозначения, использованные Сонгом Дж. и Дер Киурегяном А. (2006). реализован. Восстанавливающая сила $\textstyle F(t)$ можно разложить на упругую и гистерезисную части следующим образом:

$F^{el}(t)=ak_{i}u(t)$ ( Уравнение 5 )

и

$F^{h}(t)=(1-a)k_{i}z(t)$ ( Уравнение 6 )

следовательно, восстанавливающую силу можно представить как две пружины, соединенные параллельно.

Для малых значений положительного экспоненциального параметра $\textstyle n$ переход от эластичной к постэластичной ветви плавный, а при больших значениях переход резкий. Параметры $\textstyle A$, $\textstyle \beta$ и $\textstyle \gamma$ контролировать размер и форму петли гистерезиса. Было найдено что параметры модели Бука–Вэна функционально избыточны. Удалить эту избыточность лучше всего, установив $\textstyle A=1$.

Вэнь предполагаемые целочисленные значения для $\textstyle n$; однако все реальные положительные значения $\textstyle n$ допустимы, т.е. $\textstyle n>0$. Параметр $\textstyle \beta$ по предположению положительна, а допустимые значения для $\textstyle \gamma$, то есть $\textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]$, может быть получено на основе термодинамического анализа (Baber and Wen (1981) ).

Ихуане и Роделлар (2005) дать некоторое представление о поведении модели Бука – Вена и предоставить доказательства того, что реакция модели Бука – Вена при периодических входных данных является асимптотически периодической.

Определения

Некоторые термины определены ниже:

• Смягчение : наклон петли гистерезиса уменьшается по мере смещения.
• Упрочнение : крутизна петли гистерезиса увеличивается с перемещением.
• Сжатые петли гистерезиса : петли тоньше в середине, чем на концах. Защемление – внезапная потеря жесткости, вызванная, прежде всего, повреждением и взаимодействием элементов конструкции при большой деформации. Это вызвано закрывающимися (или незакрытыми) трещинами и податливостью сжатой арматуры перед закрытием трещин в железобетонных элементах, проскальзыванием болтовых соединений (в стальных конструкциях), а также ослаблением и проскальзыванием соединений, вызванных предыдущими циклическими нагрузками в деревянных конструкциях с дюбелями. -типа крепежа (например, гвоздей и болтов).
• Ухудшение жесткости : Прогрессирующая потеря жесткости в каждом цикле нагрузки.
• Деградация прочности : Деградация прочности при циклической нагрузке до одного и того же уровня смещения. Термин «деградация прочности» несколько вводит в заблуждение, поскольку деградацию прочности можно смоделировать только в том случае, если входной функцией является смещение.

Поглощенная гистерезисная энергия

Поглощенная гистерезисная энергия представляет собой энергию, рассеиваемую гистерезисной системой, и количественно выражается как площадь гистерезисной силы при полном смещении; следовательно, поглощенная гистерезисная энергия (на единицу массы ) может быть определена количественно как

$\varepsilon (t)=\int _{u(0)}^{u(t)}{\frac {F^{h}(u)}{m}}\mathrm {d} u=(1-a){\frac {k_{i}}{m}}\int _{0}^{t}z(\tau ){\dot {u}}(\tau )\mathrm {d} \tau$ ( Уравнение 7 )

то есть,

$\varepsilon (t)=(1-a)\omega ^{2}\int _{0}^{t}z(\tau ){\dot {u}}(\tau )\mathrm {d} \tau$ ( Уравнение 8 )

здесь $\textstyle \omega ^{2}:={\frac {k_{i}}{m}}$ – квадрат псевдособственной частоты нелинейной системы; единицы этой энергии $\textstyle J/kg$.

Рассеяние энергии является хорошей мерой совокупного ущерба при изменении напряжения; он отражает историю загрузки и аналогичен процессу развития повреждений. В модели Бука – Вена – Бабера – Нури эта энергия используется для количественной оценки деградации системы.

Модификации исходной модели Бука – Вена.

Модель Бука – Вена – Бабера – Нури

Важная модификация исходной модели Бука – Вена была предложена Бабером и Веном (1981). и Бабер и Нури (1985, 1986).

Эта модификация включала эффекты ухудшения прочности, жесткости и сжатия посредством подходящих функций деградации:

${\dot {z}}(t)={\frac {h(z(t))}{\eta (\varepsilon )}}{\dot {u}}(t)\left\{A(\varepsilon )-\nu (\varepsilon )\left[\beta \operatorname {sign} ({\dot {u}}(t))|z(t)|^{n-1}z(t)+\gamma |z(t)|^{n}\right]\right\}$ ( Уравнение 9 )

где параметры $\textstyle \nu (\varepsilon )$, $\textstyle \eta (\varepsilon )$ и $\textstyle h(z)$ связаны (соответственно) с эффектами деградации прочности, жесткости и сжатия. $\textstyle \nu (\varepsilon )$, $\textstyle A(\varepsilon )$ и $\textstyle \eta (\varepsilon )$ определяются как линейные функции поглощенной гистерезисной энергии $\textstyle \varepsilon$:

$\nu (\varepsilon )=\nu _{0}+\delta _{\nu }\varepsilon (t)$ ( Уравнение 10а )

$A(\varepsilon )=A_{0}-\delta _{A}\varepsilon (t)$ ( уравнение 10б )

$\eta (\varepsilon )=\eta _{0}+\delta _{\eta }\varepsilon (t)$ ( уравнение 10c )

Функция зажима $\textstyle h(z)$ указывается как:

$h(z)=1-\varsigma _{1}(\varepsilon )\exp \left(-{\frac {\left(z(t)\operatorname {sign} ({\dot {u}})-qz_{u}\right)^{2}}{(\varsigma _{2}(\varepsilon ))^{2}}}\right)$ ( Уравнение 11 )

где:

$\varsigma _{1}(\varepsilon ):=(1-\exp(-p\varepsilon (t)))\varsigma$ ( Уравнение 12a )

$\varsigma _{2}(\varepsilon ):=\left(\psi _{0}+\delta _{\psi }\varepsilon (t)\right)\left(\lambda +\varsigma _{1}(\varepsilon )\right)$ ( уравнение 12б )

и $\textstyle z_{u}$ это высшая ценность $\textstyle z$, заданный

$z_{u}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{\nu (\beta +\gamma )}}}$ ( Уравнение 13 )

Обратите внимание, что новые параметры, включенные в модель: $\textstyle \delta _{\nu }>0$, $\textstyle \delta _{A}>0$, $\textstyle \delta _{\eta }>0$, $\textstyle \nu _{0}$, $\textstyle A_{0}$, $\textstyle \eta _{0}$, $\textstyle \psi _{0}$, $\textstyle \delta _{\psi }$, $\textstyle \lambda$, $\textstyle p$ и $\textstyle \varsigma$, где $\textstyle \varsigma$, п, д, $\textstyle \psi$, $\textstyle \delta$ и $\textstyle \lambda$ – параметры сжатия. Когда $\textstyle \delta _{\nu }=0$, $\textstyle \delta _{\eta }=0$ или $\textstyle h(z)=1$ В модель не включено ухудшение прочности, ухудшение жесткости или эффект сжатия.

Фольенте (1993), в сотрудничестве с депутатом Сингхом и М. Нури, а затем Гейне (2001) немного изменил функцию сжатия, чтобы моделировать слабые системы. Примером провисающей системы является деревянная конструкция, в которой происходит смещение с кажущейся нулевой жесткостью, поскольку болт конструкции вдавливается в древесину.

Обобщение с двумя степенями свободы

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, подверженную двухосным возбуждениям. В этом случае взаимодействие восстанавливающих сил может существенно изменить реакцию конструкции; например, повреждение, причиненное возбуждением в одном направлении, может ослабить ухудшение жесткости и/или прочности в другом направлении, и наоборот. Уравнение движения, моделирующее такое взаимодействие, имеет вид:

$M{\begin{bmatrix}{\ddot {u}}_{x}\\{\ddot {u}}_{y}\end{bmatrix}}+C{\begin{bmatrix}{\dot {u}}_{x}\\{\dot {u}}_{y}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\end{bmatrix}}$

где $M$ и $C$ обозначают матрицы массы и демпфирования, $u_{x}$ и $u_{y}$ это перемещения, $f_{x}$ и $f_{y}$ являются возбуждения и $q_{x}$ и $q_{y}$ — восстанавливающие силы, действующие в двух ортогональных (перпендикулярных) направлениях, которые определяются выражением

${\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\end{bmatrix}}=aK{\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{bmatrix}}+(1-a)K{\begin{bmatrix}z_{x}\\z_{y}\end{bmatrix}}$

где $K$ – исходная матрица жесткости, $a$ - это отношение жесткости после текучести к жесткости до текучести (эластичной) и $z_{x}$ и $z_{y}$ представляют собой гистерезисные смещения.

Используя это обобщение с двумя степенями свободы, Park et al. (1986) представляло гистерезисное поведение системы следующим образом:

${\dot {z}}_{x}=A{\dot {u}}_{x}-z_{x}\left(\beta |{\dot {u}}_{x}z_{x}|+\gamma {\dot {u}}_{x}z_{x}+\beta |{\dot {u}}_{y}z_{y}|+\gamma {\dot {u}}_{y}z_{y}\right)$ ( Уравнение 14a )

${\dot {z}}_{y}=A{\dot {u}}_{y}-z_{y}\left(\beta |{\dot {u}}_{x}z_{x}|+\gamma {\dot {u}}_{x}z_{x}+\beta |{\dot {u}}_{y}z_{y}|+\gamma {\dot {u}}_{y}z_{y}\right)$ ( уравнение 14b )

Эта модель подходит, например, для воспроизведения геометрически линейного, несвязанного поведения железобетонной колонны , нагруженной по двум осям . Такие программы, как ETABS и SAP2000, используют эту формулу для моделирования базовых изоляторов .

Ван и Вэнь (2000) попытались расширить модель Park et al. (1986) включить случаи с различной остротой «перегиба» (т.е. $n\neq 2$). Однако при этом предложенная модель уже не была вращательно-инвариантной (изотропной). Харви и Гэвин (2014) предложил альтернативное обобщение модели Парк-Вэнь. который сохранил изотропию и по-прежнему позволял $n\neq 2$, а именно.

${\dot {z}}_{x}=A{\dot {u}}_{x}-z_{x}\left(\beta |{\dot {u}}_{x}z_{x}|+\gamma {\dot {u}}_{x}z_{x}+\beta |{\dot {u}}_{y}z_{y}|+\gamma {\dot {u}}_{y}z_{y}\right)\times \left(z_{x}^{2}+z_{y}^{2}\right)^{\tfrac {n-2}{2}}$ ( уравнение 14c )

${\dot {z}}_{y}=A{\dot {u}}_{y}-z_{y}\left(\beta |{\dot {u}}_{x}z_{x}|+\gamma {\dot {u}}_{x}z_{x}+\beta |{\dot {u}}_{y}z_{y}|+\gamma {\dot {u}}_{y}z_{y}\right)\times \left({z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\right)^{\tfrac {n-2}{2}}$ ( Уравнение 14d )

Учтите, что с помощью замены переменных: $z_{x}=z\cos \theta$, $z_{y}=z\sin \theta$, $u_{x}=u\cos \theta$, $u_{y}=u\sin \theta$ уравнения , 14 свести к одноосному гистерезисному соотношению (уравнение). 3 с $n=2$, то есть,

${\dot {z}}(t)=A{\dot {u}}(t)-\beta |{\dot {u}}(t)z(t)|z(t)-\gamma {\dot {u}}(t)|z(t)|^{2}$ ()

поскольку это уравнение справедливо для любого значения $\theta$, гистерезисное восстанавливающееся смещение изотропно.

Модификация Ванга и Вэня

Ван и Вэнь (1998) предложил следующее выражение для учета асимметричной пиковой восстанавливающей силы :

${\dot {z}}(t)={\dot {u}}(t)\left\{A-\left[\gamma +\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\phi (\operatorname {sign} ({\dot {u}}(t))+\operatorname {sign} (z(t)))\right]|z(t)|^{n}\right\}$ ( Уравнение 15 )

где $\textstyle \phi$ является дополнительным параметром, подлежащим определению.

Асимметричный гистерезис

Асимметричные гистерезисные кривые появляются из-за асимметрии механических свойств испытуемого элемента, геометрии или того и другого. Песня и Дер Кюрегян (2006) заметил, что на петли гистерезиса часто влияют не только знаки скорости ${\dot {u}}(t)$ и гистерезисное смещение $z(t)$ но и по знаку смещения $u(t)$, поскольку гистерезисное поведение элемента конструкции при растяжении может отличаться от такового при сжатии. Поэтому Сонг и Дер Кюрегян (2006) предложил следующую функцию для моделирования этих асимметричных кривых:

${\dot {z}}(t)={\dot {u}}(t)\left\{A-\left[\beta _{1}\operatorname {sign} ({\dot {u}}(t)z(t))+\beta _{2}\operatorname {sign} (u(t){\dot {u}}(t))+\beta _{3}\operatorname {sign} (u(t)z(t))+\beta _{4}\operatorname {sign} ({\dot {u}}(t))+\beta _{5}\operatorname {sign} (z(t))+\beta _{6}\operatorname {sign} (u(t))\right]|z(t)|^{n}\right\}$ ( Уравнение 16 )

где $\textstyle \beta _{i}$, $\textstyle i=1,2,\ldots ,6$ – это шесть параметров, которые необходимо определить в процессе идентификации. Однако, по данным Ikhoane et al. (2008), коэффициенты $\textstyle \beta _{2}$, $\textstyle \beta _{3}$ и $\textstyle \beta _{6}$ должно быть установлено на ноль. Кроме того, по данным Алоизио и др. (2020), никаких расследований относительно сроков допустимости $\beta _{i}$ параметры были проведены еще в свете второго начала термодинамики.

Алоизио и др. (2020) расширил формулировку, представленную Сонгом и Дер Кюрегяном (2006). воспроизводить явления защемления и деградации. Они включали два дополнительных параметра $\textstyle \beta _{7}$ и $\textstyle \beta _{8}$ это приводит к защемлению путей нагрузки; также они сделали восьмерку $\textstyle \beta _{i}$ коэффициенты-функции диссипируемой гистерезисной энергии $\varepsilon$ для учета снижения прочности и жесткости.

Расчет реакции на основе временных диаграмм возбуждения

В экспериментах, контролируемых смещением , временная история смещения $\textstyle u(t)$ и его производная $\textstyle {\dot {u}}(t)$ известны; поэтому расчет гистерезисной переменной и возвращающей силы выполняется непосредственно с использованием уравнений (1). 2 и уравнение. 3 .

В экспериментах, контролируемых силой , уравнение. 1 , уравнение. 2 и уравнение. 4 можно преобразовать в форму пространства состояний , используя замену переменных $\textstyle x_{1}(t)=u(t)$, $\textstyle {\dot {x}}_{1}(t)={\dot {u}}(t)=x_{2}(t)$, $\textstyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {u}}(t)$ и $\textstyle x_{3}(t)=z(t)$ как:

$\left[{\begin{array}{c}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\\{\dot {x}}_{3}(t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{2}(t)\\m^{-1}\left[f(t)-cx_{2}(t)-ak_{i}x_{1}(t)-(1-a)k_{i}x_{3}(t)\right]\\x_{2}(t)\left\{A-\left[\beta \operatorname {sign} (x_{3}(t)x_{2}(t))+\gamma \right]|x_{3}(t)|^{n}\right\}\end{array}}\right]$ ( Уравнение 18 )

и решаются с использованием, например, метода предиктора-корректора Ливермора, методов Розенброка или метода Рунге-Кутты 4/5-го порядка . Последний метод более эффективен с точки зрения времени вычислений; остальные медленнее, но дают более точный ответ.

Форма пространства состояний модели Бука – Вена – Бабера – Нури определяется следующим образом:

$\left[{\begin{array}{c}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\\{\dot {x}}_{3}(t)\\{\dot {x}}_{4}(t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{2}(t)\\m^{-1}\left[f(t)-cx_{2}(t)-ak_{i}x_{1}(t)-(1-a)k_{i}x_{3}(t)\right]\\{\frac {h(x_{3}(t))}{\eta (x_{4}(t))}}x_{2}(t)\left\{A(x_{4}(t))-\nu (x_{4}(t))\left[\beta \operatorname {sign} (x_{3}(t)x_{2}(t))+\gamma \right]|x_{3}(t)|^{n}\right\}\\(1-a)\omega ^{2}x_{3}(t)x_{2}(t)\end{array}}\right]$ ( Уравнение 19 )

Это жесткое обыкновенное дифференциальное уравнение , которое можно решить, например, с помощью функции ode15 из MATLAB .

По мнению Гейне (2001), время вычислений для решения модели и численного шума значительно сокращается, если сила и смещение имеют один и тот же порядок величины; например, хорошим выбором являются единицы кН и мм .

Аналитический расчет гистерезисного отклика

Гистерезис, создаваемый моделью Бука – Вена, не зависит от скорости. уравнение 4 можно записать так:

${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=A-\left[\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\gamma \right]|z(t)|^{n}$ ( Уравнение 20 )

где ${\dot {u}}(t)$ в рамках $\operatorname {sign}$ функция служит лишь индикатором направления движения. Неопределенный интеграл уравнения 19 может быть выражен аналитически через гипергеометрическую функцию Гаусса $_{2}F_{1}(a,b,c;w)$. С учетом начальных условий имеет место следующее соотношение:

$u-u_{0}=[z[_{2}F_{1}(1,{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}};q|z|^{n})]]|_{z_{0}}^{z}$ ( Уравнение 21 )

где, $q=\beta \operatorname {sign} (z(t){\dot {u}}(t))+\gamma$ предполагается постоянным для рассматриваемого перехода (не обязательно малого), $A=1$ и $u_{0}$, $z_{0}$ – начальные значения смещения и гистерезисного параметра соответственно. Уравнение 20 решается аналитически для $z$ для конкретных значений экспоненциального параметра $n$, то есть для $n=1$ и $n=2$. Для произвольных значений $n$, уравнение 20 можно эффективно решить, используя, например, методы типа деления пополам, такие как метод Брента .

Ограничения параметров и идентификация

Параметры модели Бука – Вена имеют следующие оценки $\textstyle a\in (0,1)$, $\textstyle k_{i}>0$, $\textstyle k_{f}>0$, $\textstyle c>0$, $\textstyle A>0$, $\textstyle n>1$, $\textstyle \beta >0$, $\textstyle \gamma \in [-\beta ,\beta ]$.

Как отмечалось выше, Ma et al. (2004) доказал, что параметры модели Бука–Вэна функционально избыточны; то есть существует несколько векторов параметров, которые производят идентичный ответ на данное возбуждение. Удалить эту избыточность лучше всего, установив $\textstyle A=1$.

Константину и Аднан (1987) предложил ввести ограничение $\textstyle {\frac {A}{\beta +\gamma }}=1$ чтобы свести модель к формулировке с четко определенными свойствами.

Принимая эти ограничения, неизвестные параметры становятся: $\textstyle \gamma$, $\textstyle n$, $\textstyle a$, $\textstyle k_{i}$ и $\textstyle c$.

Определение параметров модели с использованием экспериментальных входных и выходных данных может быть выполнено с помощью методов идентификации системы . Процедуры, предложенные в литературе, включают:

• Оптимизация на основе метода наименьших квадратов (с использованием методов Гаусса–Ньютона, эволюционных алгоритмов, генетических алгоритмов и т. д.); в этом случае разница ошибок между временными диаграммами или между кратковременными преобразованиями Фурье сигналов сводится к минимуму.
• Расширенный фильтр Калмана , фильтр Калмана без запаха , фильтры твердых частиц
• Дифференциальная эволюция
• Генетические алгоритмы
• Оптимизация роя частиц
• Адаптивные законы
• Гибридные методы

Эти алгоритмы настройки параметров минимизируют функцию потерь, основанную на одном или нескольких из следующих критериев:

• Минимизация ошибки между экспериментальным перемещением и расчетным перемещением.
• Минимизация ошибки между экспериментальной возвращающей силой и расчетной возвращающей силой.
• Минимизация ошибки между экспериментальной диссипируемой энергией (оцененной по смещению и возвращающей силе) и расчетной полной диссипируемой энергией.

После применения метода идентификации для настройки параметров модели Бука-Вэна полученная модель считается хорошим приближением истинного гистерезиса, когда ошибка между экспериментальными данными и выходными данными модели достаточно мала (с практической точки зрения). вид).

Критика

Гистерезисная модель Бука-Вэня подверглась некоторой критике за ее способность точно описывать явление гистерезиса в материалах. Например:

• Тьягараджан и Иван (1990) обнаружили, что прогнозы смещения имеют более низкое качество по сравнению с прогнозами скорости и ускорения.

• Фазан (1978) утверждает, что модели класса Бука-Вена не соответствуют требованиям классической теории пластичности, таким как постулат Друкера. Харалампакис и Кумусис (2009) предложить модификацию модели Бука-Вэня для устранения дрейфа смещения, релаксации силы и незамыкания гистерезисных петель, когда материал подвергается коротким путям разгрузки и перегрузки, что приводит к локальному нарушению постулата пластичности Друкера или Ильюшина.

• Кашиати и Фаравелли (1987) и Тьягараджан и Иван (1990). отметили, что модели класса Бук-Вэнь могут приводить к отрицательной диссипации энергии в процессе разгрузки-перегрузки без реверса нагрузки.

Дальнейшее чтение

• Ихуане, Файсал; Роделлар, Хосе (2007). Системы с гистерезисным анализом, идентификацией и управлением с использованием модели Бук-Вэна . Чичестер: Джон Уайли и сыновья. ISBN  9780470513194 .