Формализм Пресса – Шехтера

Формализм Пресса – Шехтера — это математическая модель для прогнозирования количества объектов (таких как галактики , скопления галактик или гало темной материи). ^{[ 1 ]}) определенной массы в данном объеме Вселенной. Он был описан в научной статье Уильяма Х. Пресса и Пола Шехтера в 1974 году. ^{[ 2 ]}

Фон

В контексте космологических моделей холодной темной материи возмущения всех масштабов отпечатываются во Вселенной в очень ранние времена, например, квантовыми флуктуациями в эпоху инфляции . Позже, по мере красного смещения излучения, они становятся массовыми возмущениями и начинают линейно расти. Лишь спустя много времени после этого, начиная с малых масштабов масс и продвигаясь со временем к более крупным масштабам масс, возмущения фактически коллапсируют, образуя (например) галактики или скопления галактик в так называемом иерархическом структурном формировании (см. Физическая космология ).

Пресс и Шехтер заметили, что доля массы коллапсирующих объектов, более массивная, чем некоторая масса M , связана с долей объемных образцов, в которых сглаженные начальные флуктуации плотности превышают некоторый порог плотности. Это дает формулу для функции массы (распределения масс) объектов в любой момент времени.

Результат

Формализм Пресса – Шехтера предсказывает, что количество объектов с массой между $M$ и $M+dM$ является: $dn\equiv N(M)dM={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1+{\frac {n}{3}}\right){\frac {\bar {\rho }}{M^{2}}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/6}\exp \left(-\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/3}\right)dM$

где $n$ - индекс спектра мощности флуктуаций в ранней Вселенной $P(k)\propto k^{n}$ , ${\bar {\rho }}$ - средняя плотность (барионной и темной) материи Вселенной на момент гравитационного коллапса флуктуации, из-за которой образовался объект, и $M^{*}$ представляет собой отсекающую массу, ниже которой будут формироваться структуры. Его значение:

$M^{*}=\left({\frac {{\bar {\rho }}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}=\left({\frac {{\bar {\rho }}_{0}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma _{0}^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}\cdot {\frac {R_{0}^{2}}{R^{2}}}$

$\sigma$ — стандартное отклонение на единицу объема колебания, в результате которого образовался объект, который гравитационно рухнул во время гравитационного коллапса, а R — масштаб Вселенной в тот момент. Параметры с индексом 0 относятся к моменту первоначального возникновения колебаний (или к любому более позднему времени до гравитационного коллапса).

Качественно предсказание состоит в том, что распределение массы является степенным законом для небольшие массы с экспоненциальным обрезанием выше некоторой характерной массы, которая увеличивается со временем. Такие функции ранее были отмечены Шехтером. как наблюдаемые функции светимости , и теперь известны как функции светимости Шехтера. Пресс-Шехтер формализм предоставил первую количественную модель того, как такие функции могут возникнуть.

Случай безмасштабного спектра мощности n = 0 (или, что то же самое, скалярного спектрального индекса 1) очень близок к спектру текущей стандартной космологической модели . В этом случае, $dn$ имеет более простую форму. Записано в безмассовых единицах:

$M{\frac {dn}{dM}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\bar {\rho }}{M}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{1/2}e^{-M/M^{*}}$

Допущения и схема вывода

Формализм Пресса – Шехтера выводится на основе трех ключевых предположений: ^{[ 3 ]}

Материя во Вселенной имеет возмущения $\delta$ соответствует распределению Гаусса , и дисперсия этого распределения зависит от масштаба и определяется спектром мощности. $P(k)$
Возмущения материи растут линейно с функцией роста $\delta \propto D_{+}$
Ореолы — это сферические вириализованные образования сверхплотности с плотностью выше критической плотности. $\delta \geq \delta _{c}$

Другими словами, в какой-то ранний космологический момент флуктуации малы и растут, пока не пересекают порог, заканчивающийся гравитационным коллапсом в гало. Эти возмущения моделируются линейно, хотя возможный коллапс сам по себе является нелинейным процессом.

Введем сглаженное поле плотности $\delta _{M}({\vec {x}})~,$ предоставлено $\delta ({\vec {x}})$ усреднено по сфере с центром ${\vec {x}}$ и масса $M$ содержится внутри (т.е. $\delta$ свернут с помощью функции окна цилиндра). Радиус сферы имеет порядок $M\sim {\bar {\rho }}R^{3}~.$ ^{[ 4 ]} Тогда, если $\delta _{M}({\vec {x}})\geq \delta _{c}~,$ ореол существует в ${\vec {x}}$ с массой по крайней мере $M~.$

Поскольку возмущения $\delta _{M}$ распределены по Гауссу со средним значением 0 и дисперсией $\sigma (M)~,$ мы можем напрямую вычислить вероятность образования гало с массой не менее $M$ как $f(\delta _{M}>\delta _{c})=\int _{\delta _{c}}^{\infty }d\delta _{M}~{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma (M)}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta _{M}^{2}}{\sigma ^{2}(M)}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{c}}{\sigma (M)}}\right)~.$

Косвенно, $\sigma (R)$ и $\delta _{M}$ зависят от красного смещения, поэтому и указанная выше вероятность тоже. Дисперсия, приведенная в статье 1974 года, равна $\sigma (M)^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {V\cdot \sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{M\cdot \rho }}$ где $\Sigma$ — массовое стандартное отклонение объема колебания.

Заметим, что в пределе больших возмущений $\sigma (M)\gg \delta _{M}~,$ мы ожидаем, что вся материя будет содержаться в ореолах, таких что ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})=1~.}$ Однако приведенное выше уравнение дает нам предел ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})={\frac {1}{2}}~.}$ Можно привести специальный аргумент и сказать, что отрицательные возмущения не вносят вклада в эту схему, поэтому мы ошибочно упускаем из виду половину массы. Итак, анзац Пресс-Шехтера $F(>M)=\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{M}}{\sigma (M)}}\right)~,$

доля материи, содержащаяся в ореолах массы $>M~.$

Дробное колебание $\delta$ ; в какой-то космологический момент времени она достигает гравитационного коллапса после того, как с этого времени Вселенная расширилась в 1/δ раз. Используя это, можно получить нормальное распределение флуктуаций, записанное в терминах $M$ , $\rho$ , и $\sigma$ дает формулу Пресса-Шехтера.

Обобщения

Существует ряд обобщений формулы Пресса-Шехтера, таких как приближение Шета-Тормена . ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Гало темной материи, функции массы и космология: взгляд теоретика
^ Формирование галактик и скоплений галактик в результате самоподобной гравитационной конденсации , WH Press, П. Шехтер, 1974 г.
^ Баркана, Реннан (2018). Энциклопедия космологии, том 1: Формирование и эволюция галактик . Том. 2. Мировая научная. дои : 10.1142/9496 . ISBN 9789814656221 .
^ Бауманн, Дэниел (2022). Космология . 2022. дои : 10.1017/9781108937092 . ISBN 9781108838078 .
^ Шет, Р.К., и Тормен, Г. (1999). Крупномасштабное смещение и пиковое разделение фона. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 308(1), 119-126 .

[1] Гало темной материи, функции массы и космология: взгляд теоретика

[2] Формирование галактик и скоплений галактик в результате самоподобной гравитационной конденсации , WH Press, П. Шехтер, 1974 г.

[Barkana-3] Баркана, Реннан (2018). Энциклопедия космологии, том 1: Формирование и эволюция галактик . Том. 2. Мировая научная. дои : 10.1142/9496 . ISBN 9789814656221 .

[4] Бауманн, Дэниел (2022). Космология . 2022. дои : 10.1017/9781108937092 . ISBN 9781108838078 .

[5] Шет, Р.К., и Тормен, Г. (1999). Крупномасштабное смещение и пиковое разделение фона. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 308(1), 119-126 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]