Взрыв Нэша
В алгебраической геометрии раздутие по Нэшу — это процесс, в котором, грубо говоря, каждая особая точка заменяется всеми предельными положениями касательных пространств в неособых точках. Более формально, пусть — алгебраическое многообразие чистой размерности r, вложенное в гладкое многообразие размерности n и пусть быть дополнением единственного локуса . Определить карту , где — грассманиан - плоскостей r в касательном расслоении , к , где является касательным пространством в . Замыкание изображения этой карты вместе с проекцией на называется разрушением Нэша .
Хотя приведенная выше конструкция использует вложение, само раздутие по Нэшу уникально с точностью до единственного изоморфизма.
Характеристики
[ редактировать ]- Раздутие по Нэшу является локально моноидальным преобразованием .
- Если X — полное пересечение, определяемое исчезновением тогда раздутие по Нэшу — это раздутие с центром, заданным идеалом, порожденным ( n − r )-минорами матрицы с элементами .
- Для многообразия над полем нулевой характеристики раздутие по Нэшу является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X неособо.
- Для алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики повторное разрушение по Нэшу приводит к десингуляризации после конечного числа шагов.
- Оба предшествующих свойства могут не иметь положительных характеристик. Например, в характеристике q > 0 кривая имеет раздутие по Нэшу, которое представляет собой моноидальное преобразование с центром, заданным идеалом , для q = 2, или , для . Поскольку центр является гиперповерхностью, раздутие является изоморфизмом.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Нобиле, А. (1975), «Некоторые свойства разрушения по Нэшу» , Pacific Journal of Mathematics , 60 (1): 297–305, doi : 10.2140/pjm.1975.60.297 , MR 0409462