Взрыв Нэша

В алгебраической геометрии раздутие по Нэшу — это процесс, в котором, грубо говоря, каждая особая точка заменяется всеми предельными положениями касательных пространств в неособых точках. Более формально, пусть $X$ — алгебраическое многообразие чистой размерности r, вложенное в гладкое многообразие $Y$ размерности n и пусть $X_{\text{reg}}$ быть дополнением единственного локуса $X$ . Определить карту $\tau :X_{\text{reg}}\rightarrow X\times G_{r}(TY)$ , где $G_{r}(TY)$ — грассманиан - плоскостей r в касательном расслоении $Y$ , к $\tau (a):=(a,T_{X,a})$ , где $T_{X,a}$ является касательным пространством $X$ в $a$ . Замыкание изображения этой карты вместе с проекцией на $X$ называется разрушением Нэша $X$ .

Хотя приведенная выше конструкция использует вложение, само раздутие по Нэшу уникально с точностью до единственного изоморфизма.

Характеристики

Раздутие по Нэшу является локально моноидальным преобразованием .
Если X — полное пересечение, определяемое исчезновением $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n-r}$ тогда раздутие по Нэшу — это раздутие с центром, заданным идеалом, порожденным ( n − r )-минорами матрицы с элементами $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ .
Для многообразия над полем нулевой характеристики раздутие по Нэшу является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X неособо.
Для алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики повторное разрушение по Нэшу приводит к десингуляризации после конечного числа шагов.
Оба предшествующих свойства могут не иметь положительных характеристик. Например, в характеристике q > 0 кривая $y^{2}-x^{q}=0$ имеет раздутие по Нэшу, которое представляет собой моноидальное преобразование с центром, заданным идеалом $(x^{q})$ , для q = 2, или $(y^{2})$ , для $q>2$ . Поскольку центр является гиперповерхностью, раздутие является изоморфизмом.