Пункт Сетхи-Скиба

Очки Сетхи-Скиба , ^[1]^[2]^[3]^[4] также известные как точки DNSS, возникают в задачах оптимального управления , которые имеют несколько оптимальных решений. Точка Сетхи-Скибы — это точка безразличия в задаче оптимального управления, начиная с которой задача имеет более одного различных оптимальных решений. Хорошее обсуждение таких вопросов можно найти у Grass et al. ^[2]^[5]^[6]

Определение

Особый интерес здесь представляют оптимального управления с бесконечным горизонтом. автономные задачи ^[2] Эти проблемы можно сформулировать как

\max _{u(t)\in \Omega }\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\varphi \left(x(t),u(t)\right)dt

ул.

{\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right),x(0)=x_{0},

где $\rho >0$ это ставка дисконтирования, $x(t)$ и $u(t)$ — переменные состояния и управления соответственно в момент времени $t$ , функции $\varphi$ и $f$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам и не зависят явно от времени. $t$ , и $\Omega$ представляет собой набор допустимых управлений и также явно не зависит от времени $t$ . При этом предполагается, что интеграл сходится для любого допустимого решения $\left(x(.),u(.)\right)$ . В такой задаче с одномерной переменной состояния $x$ , исходное состояние $x_{0}$ называется точкой Сетхи-Скибы, если система, начинающаяся из нее, имеет несколько оптимальных решений или состояний равновесия. Таким образом, по крайней мере в окрестностях г. $x_{0}$ , система переходит к одному равновесию за $x>x_{0}$ и другому для $x<x_{0}$ . В этом смысле $x_{0}$ Это точка безразличия, из которой система может перейти к любому из двух равновесий.

Для двумерных задач оптимального управления Грасс и др. ^[5] и Зейлер и др. ^[7] представить примеры, демонстрирующие кривые DNSS.

Некоторые ссылки на применение точек Сетхи-Скибы приведены у Колкинса и др., ^[8] Зейлер и др. ^[9] и Карбони и русский ^[10]

История

Суреш П. Сетхи впервые определил такие точки безразличия в 1977 году. ^[11] Дальше, Скиба, ^[12] Сетхи, ^[13]^[14]^[15] и Декерт и Нисимура ^[16] исследовал эти точки безразличия в экономических моделях. Термин DNSS (Декерт, Нисимура, Сетхи, Скиба), введенный Грассом и др., ^[5] признает (в алфавитном порядке) вклад этих авторов. Эти точки безразличия в более ранней литературе также назывались точками Скибы или точками DNS . ^[5]

Пример

Простая задача, демонстрирующая такое поведение, задается формулой $\varphi \left(x,u\right)=xu,$ $f\left(x,u\right)=-x+u,$ и $\Omega =\left[-1,1\right]$ . Это показано Grass et al. ^[5] что $x_{0}=0$ является точкой Сетхи-Скибы для этой задачи, поскольку оптимальный путь $x(t)$ может быть либо $\left(1-e^{-t}\right)$ или $\left(-1+e^{-t}\right)$ . Обратите внимание, что для $x_{0}<0$ , оптимальный путь $x(t)=-1+e^{-t\left(x_{0}+1\right)}$ и для $x_{0}>0$ , оптимальный путь $x(t)=1+e^{-t\left(x_{0}-1\right)}$ .

Расширения

Для получения более подробной информации и дополнений читатель отсылается к Grass et al. ^[5]

Ссылки

^ Колкинс, Джонатан П.; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард Ф.; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Вжачек, Стефан (01 марта 2021 г.). «Оптимальная интенсивность карантина при COVID-19» . Журнал математической экономики . Экономика эпидемий и возникающих болезней. 93 : 102489. doi : 10.1016/j.jmateco.2021.102489 . hdl : 10067/1777560151162165141 . ISSN 0304-4068 . ПМК 7857053 . ПМИД 33558783 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Сетхи, Суреш П. (2021). «Теория оптимального управления» . Сетхи, СП (2021). «Теория оптимального управления: приложения к науке управления и экономике». Четвертое издание, Springer Nature Switzerland AG, ISBN 978-3-319-98236-6 . дои : 10.1007/978-3-319-98237-3 . ISBN 978-3-319-98236-6 .
^ Колкинс, Джонатан П.; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард Ф.; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Врзачек, Стефан (2022), Боадо-Пеньас, Мария дель Кармен; Айзенберг, Джулия; Шахин, Шуле (ред.), «COVID-19 и оптимальные стратегии изоляции: влияние новых и более вирулентных штаммов», Пандемии: страхование и социальная защита , Springer Actuarial, Cham: Springer International Publishing, стр. 163–190, doi : 10.1007 /978-3-030-78334-1_9 , hdl : 10419/229887 , ISBN 978-3-030-78334-1
^ Колкинс, Джонатан; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Вржачек, Стефан (2 декабря 2020 г.). «Как долго должна продолжаться изоляция от COVID-19?» . ПЛОС ОДИН . 15 (12): e0243413. Бибкод : 2020PLoSO..1543413C . дои : 10.1371/journal.pone.0243413 . ISSN 1932-6203 . ПМК 7710360 . PMID 33264368 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грасс, Д.; Колкинс, JP; Файхтингер, Г.; Траглер, Г.; Беренс, Д.А. (2008). Оптимальное управление нелинейными процессами: применение в борьбе с наркотиками, коррупцией и террором . Спрингер. ISBN 978-3-540-77646-8 .
^ Колкинс, Дж.П., Грасс, Д., Файхтингер, Г., Хартл, Р.Ф., Корт, П.М., Прскавец, А. , Зайдль, А., Врзачек, А. (2020). «Когда должна закончиться изоляция Covid-19?». OR News, Ausgabe 69: 10–13.
^ Зейлер И., Колкинс Дж., Грасс Д., Траглер Г. (2009). Сохраняя возможности открытыми: модель оптимального управления с траекториями, достигающими точки DNSS в положительное время. Журнал SIAM по управлению и оптимизации , Vol. 48, № 6, стр. 3698-3707.| дои =10.1137/080719741 |
^ Колкинс, JP; Файхтингер, Г.; Грасс, Д.; Траглер, Г. (2009). «Оптимальный контроль терроризма и глобальная репутация: пример нового порогового поведения». Письма об исследованиях операций . 37 (6): 387–391. дои : 10.1016/j.orl.2009.07.003 .
^ И. Зейлер, Дж. П. Колкинс и Г. Траглер. Когда двое становятся одним: оптимальный контроль взаимодействующих лекарств. Рабочий документ, Венский технологический университет, Вена, Австрия
^ Карбони, Оливьеро А.; Руссу, Паоло (01 июня 2021 г.). «Налогообложение, коррупция и наказание: интеграция эволюционной игры в оптимальный контроль государственной политики» . Международный обзор теории игр . 23 (2): 2050019. doi : 10.1142/S021919892050019X . ISSN 0219-1989 .
^ Сетхи, СП (1977). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры». Журнал теории оптимизации и приложений . 23 (4): 563–579. дои : 10.1007/BF00933297 . S2CID 123705828 .
^ Скиба, АК (1978). «Оптимальный рост с выпукло-вогнутой производственной функцией». Эконометрика . 46 (3): 527–539. дои : 10.2307/1914229 . JSTOR 1914229 .
^ Сетхи, СП (1 декабря 1977 г.). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры» . Журнал теории оптимизации и приложений . 23 (4): 563–579. дои : 10.1007/BF00933297 . ISSN 1573-2878 .
^ Сетхи, СП (1979). «Оптимальная рекламная политика с моделью заражения». Журнал теории оптимизации и приложений . 29 (4): 615–627. дои : 10.1007/BF00934454 . S2CID 121398518 .
^ Сетхи, С.П., «Оптимальные карантинные программы для контроля распространения эпидемии», Журнал Общества операционных исследований , 29 (3), 1978, 265-268. JSTOR 3009454 SSRN 3587573
^ Декерт, Д.В.; Нисимура, К. (1983). «Полная характеристика оптимальных путей роста в агрегированной модели с невогнутой производственной функцией». Журнал экономической теории . 31 (2): 332–354. дои : 10.1016/0022-0531(83)90081-9 .

[1] Колкинс, Джонатан П.; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард Ф.; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Вжачек, Стефан (01 марта 2021 г.). «Оптимальная интенсивность карантина при COVID-19» . Журнал математической экономики . Экономика эпидемий и возникающих болезней. 93 : 102489. doi : 10.1016/j.jmateco.2021.102489 . hdl : 10067/1777560151162165141 . ISSN 0304-4068 . ПМК 7857053 . ПМИД 33558783 .

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с Сетхи, Суреш П. (2021). «Теория оптимального управления» . Сетхи, СП (2021). «Теория оптимального управления: приложения к науке управления и экономике». Четвертое издание, Springer Nature Switzerland AG, ISBN 978-3-319-98236-6 . дои : 10.1007/978-3-319-98237-3 . ISBN 978-3-319-98236-6 .

[3] Колкинс, Джонатан П.; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард Ф.; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Врзачек, Стефан (2022), Боадо-Пеньас, Мария дель Кармен; Айзенберг, Джулия; Шахин, Шуле (ред.), «COVID-19 и оптимальные стратегии изоляции: влияние новых и более вирулентных штаммов», Пандемии: страхование и социальная защита , Springer Actuarial, Cham: Springer International Publishing, стр. 163–190, doi : 10.1007 /978-3-030-78334-1_9 , hdl : 10419/229887 , ISBN 978-3-030-78334-1

[4] Колкинс, Джонатан; Грасс, Дитер; Файхтингер, Густав; Хартл, Ричард; Корт, Питер М.; Прскавец, Алексия ; Зайдль, Андреа; Вржачек, Стефан (2 декабря 2020 г.). «Как долго должна продолжаться изоляция от COVID-19?» . ПЛОС ОДИН . 15 (12): e0243413. Бибкод : 2020PLoSO..1543413C . дои : 10.1371/journal.pone.0243413 . ISSN 1932-6203 . ПМК 7710360 . PMID 33264368 .

[grass-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грасс, Д.; Колкинс, JP; Файхтингер, Г.; Траглер, Г.; Беренс, Д.А. (2008). Оптимальное управление нелинейными процессами: применение в борьбе с наркотиками, коррупцией и террором . Спрингер. ISBN 978-3-540-77646-8 .

[6] Колкинс, Дж.П., Грасс, Д., Файхтингер, Г., Хартл, Р.Ф., Корт, П.М., Прскавец, А. , Зайдль, А., Врзачек, А. (2020). «Когда должна закончиться изоляция Covid-19?». OR News, Ausgabe 69: 10–13.

[7] Зейлер И., Колкинс Дж., Грасс Д., Траглер Г. (2009). Сохраняя возможности открытыми: модель оптимального управления с траекториями, достигающими точки DNSS в положительное время. Журнал SIAM по управлению и оптимизации , Vol. 48, № 6, стр. 3698-3707.| дои =10.1137/080719741 |

[caulkins09-8] Колкинс, JP; Файхтингер, Г.; Грасс, Д.; Траглер, Г. (2009). «Оптимальный контроль терроризма и глобальная репутация: пример нового порогового поведения». Письма об исследованиях операций . 37 (6): 387–391. дои : 10.1016/j.orl.2009.07.003 .

[zeiler10-9] И. Зейлер, Дж. П. Колкинс и Г. Траглер. Когда двое становятся одним: оптимальный контроль взаимодействующих лекарств. Рабочий документ, Венский технологический университет, Вена, Австрия

[10] Карбони, Оливьеро А.; Руссу, Паоло (01 июня 2021 г.). «Налогообложение, коррупция и наказание: интеграция эволюционной игры в оптимальный контроль государственной политики» . Международный обзор теории игр . 23 (2): 2050019. doi : 10.1142/S021919892050019X . ISSN 0219-1989 .

[sethi77-11] Сетхи, СП (1977). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры». Журнал теории оптимизации и приложений . 23 (4): 563–579. дои : 10.1007/BF00933297 . S2CID 123705828 .

[skiba78-12] Скиба, АК (1978). «Оптимальный рост с выпукло-вогнутой производственной функцией». Эконометрика . 46 (3): 527–539. дои : 10.2307/1914229 . JSTOR 1914229 .

[13] Сетхи, СП (1 декабря 1977 г.). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры» . Журнал теории оптимизации и приложений . 23 (4): 563–579. дои : 10.1007/BF00933297 . ISSN 1573-2878 .

[sethi79-14] Сетхи, СП (1979). «Оптимальная рекламная политика с моделью заражения». Журнал теории оптимизации и приложений . 29 (4): 615–627. дои : 10.1007/BF00934454 . S2CID 121398518 .

[sethi78-15] Сетхи, С.П., «Оптимальные карантинные программы для контроля распространения эпидемии», Журнал Общества операционных исследований , 29 (3), 1978, 265-268. JSTOR 3009454 SSRN 3587573

[DN83-16] Декерт, Д.В.; Нисимура, К. (1983). «Полная характеристика оптимальных путей роста в агрегированной модели с невогнутой производственной функцией». Журнал экономической теории . 31 (2): 332–354. дои : 10.1016/0022-0531(83)90081-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]