Проекция Гаека

В статистике проекция Хайека случайной величины. $T$ на множестве независимых случайных векторов $X_{1},\dots ,X_{n}$ является частной измеримой функцией $X_{1},\dots ,X_{n}$ который, грубо говоря, отражает изменение $T$ оптимальным образом. Он назван в честь чешского статистика Ярослава Гаека .

Определение

Учитывая случайную величину $T$ и набор независимых случайных векторов $X_{1},\dots ,X_{n}$, проекция Гаека ${\hat {T}}$ из $T$ на $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$ дается

${\hat {T}}=\operatorname {E} (T)+\sum _{i=1}^{n}\left[\operatorname {E} (T\mid X_{i})-\operatorname {E} (T)\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (T\mid X_{i})-(n-1)\operatorname {E} (T)$

Характеристики

• Проекция Гаека ${\hat {T}}$ это $L^{2}$проекция ​ $T$ на линейное подпространство всех случайных величин вида $\sum _{i=1}^{n}g_{i}(X_{i})$, где $g_{i}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ — произвольные измеримые функции такие, что $\operatorname {E} (g_{i}^{2}(X_{i}))<\infty$ для всех $i=1,\dots ,n$
• $\operatorname {E} ({\hat {T}}\mid X_{i})=\operatorname {E} (T\mid X_{i})$ и, следовательно, $\operatorname {E} ({\hat {T}})=\operatorname {E} (T)$
• При некоторых условиях асимптотические распределения последовательности статистик $T_{n}=T_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ и последовательность его проекций Гаека ${\hat {T}}_{n}={\hat {T}}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ совпадают, а именно, если $\operatorname {Var} (T_{n})/\operatorname {Var} ({\hat {T}}_{n})\to 1$, затем ${\frac {T_{n}-\operatorname {E} (T_{n})}{\sqrt {\operatorname {Var} (T_{n})}}}-{\frac {{\hat {T}}_{n}-\operatorname {E} ({\hat {T}}_{n})}{\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {T}}_{n})}}}$ сходится к нулю по вероятности .