Уравнение Борда – Карно

В гидродинамике уравнение Борда -Карно представляет собой эмпирическое описание потерь механической энергии жидкости из - за (внезапного) расширения потока . Он описывает, как общий напор снижается из-за потерь. Это контрастирует с принципом Бернулли для бездиссипативного потока (без необратимых потерь), где полный напор является постоянным вдоль линии тока . Уравнение названо в честь Жана-Шарля де Борда (1733–1799) и Лазара Карно (1753–1823).

Это уравнение используется как для течения в открытом канале , так и для течения в трубах . На участках потока, где необратимые потери энергии незначительны, можно использовать принцип Бернулли.

Формулировка

Уравнение Борда – Карно имеет вид

$\Delta E=\xi \,{\frac {\rho }{2}}\,(v_{1}-v_{2})^{2},$

где

Δ E - потери механической энергии жидкости,

ξ — эмпирический коэффициент потерь, который безразмерен и имеет значение от нуля до единицы, 0 ≤ ξ ≤ 1,

ρ жидкости — плотность ,

v ₁ и v ₂ — средние скорости потока до и после расширения.

При резком и широком расширении коэффициент потерь равен единице. В других случаях коэффициент потерь приходится определять иными способами, чаще всего по эмпирическим формулам (на основе данных, полученных экспериментальным путем ). Уравнение потерь Борда-Карно справедливо только при уменьшении скорости v ₁ > v ₂ , в противном случае потери Δ E равны нулю - без механической работы дополнительных внешних сил не может быть выигрыша в механической энергии жидкости.

На коэффициент потерь ξ можно влиять за счет оптимизации . Например, в случае расширения трубы использование постепенно расширяющегося диффузора может снизить потери механической энергии.

Связь с общим напором и принципом Бернулли.

Уравнение Борда–Карно дает уменьшение константы уравнения Бернулли . Для несжимаемого потока результат – для двух мест, обозначенных 1 и 2, с местоположением 2 ниже по течению от 1 – вдоль линии тока :

$p_{1}+{\tfrac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+\rho gz_{1}=p_{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+\rho gz_{2}+\Delta E,$

с

p ₁ и p _{2 -} в давление точках 1 и 2,

z ₁ и z ₂ — вертикальная высота (выше некоторого опорного уровня) частицы жидкости,

g гравитационное ускорение .

Первые три члена по обе стороны от знака равенства представляют собой соответственно давление, плотность кинетической энергии жидкости и плотность потенциальной энергии, обусловленной гравитацией. Как можно видеть, давление эффективно действует как форма потенциальной энергии.

В случае течений в трубах высокого давления, когда гравитационными эффектами можно пренебречь, ∆ E равна потерям ∆( p + ρv ² /2):

$\Delta E=\Delta \left(p+{\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}\right).$

Для потоков в открытом канале Δ E связано с общей потерей напора Δ H как

$\Delta E=\rho g\Delta H,$

с H общий напор:

$H=h+{\frac {v^{2}}{2g}},$

где h — гидравлический напор — высота свободной поверхности над опорной точкой : h = z + p /( ρg ).

Примеры

Внезапное расширение трубы

Внезапное расширение потока

Уравнение Борда-Карно применяется к потоку при внезапном расширении горизонтальной трубы. В поперечном сечении 1 средняя скорость потока равна v ₁ , давление равно p ₁ и площадь поперечного сечения равна A ₁ . Соответствующие величины потока в поперечном сечении 2 – значительно позади расширения (и в областях отрывного потока ) – равны v ₂ , p ₂ и A ₂ соответственно. При расширении поток разделяется и возникают зоны турбулентного рециркуляционного течения с потерями механической энергии. Коэффициент потерь ξ при таком внезапном расширении примерно равен единице: ξ ≈ 1,0. Из-за сохранения массы, при условии постоянной плотности жидкости ρ , объемный расход через оба сечения 1 и 2 должен быть равным:

$A_{1}\,v_{1}\,=A_{2}\,v_{2}$ так $v_{2}\,=\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,v_{1}.$

Следовательно, согласно уравнению Борда-Карно, потери механической энергии при этом внезапном расширении составляют:

$\Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.$

Соответствующая потеря общего напора ΔH равна:

$\Delta H\,=\,{\frac {\Delta E}{\rho \,g}}\,=\,{\frac {1}{2\,g}}\,\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.$

В этом случае при ξ = 1 общее изменение кинетической энергии между двумя сечениями рассеивается. В результате изменение давления между обоими сечениями составит (для этой горизонтальной трубы без воздействия силы тяжести):

$\Delta p\,=\,p_{1}\,-\,p_{2}\,=\,-\,\rho \,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2},$

и изменение гидравлического напора h = z + p /( ρg ):

$\Delta h\,=\,h_{1}\,-\,h_{2}\,=\,-\,{\frac {1}{g}}\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2}.$

Знаки минус перед правой частью означают, что давление (и гидравлический напор) увеличивается после расширения трубы. То, что это изменение давления (и гидравлического напора) непосредственно до и после расширения трубы, соответствует потере энергии, становится ясно при сравнении с результатами принципа Бернулли . Согласно этому бездиссипативному принципу уменьшение скорости потока связано с гораздо большим увеличением давления, чем в данном случае с потерями механической энергии.

Внезапное сокращение трубы

Течение при внезапном сокращении диаметра трубы с пузырьками отрыва потока вблизи поперечного сечения 3.

В случае резкого уменьшения диаметра трубы без обтекания поток не сможет следовать за резким изгибом в более узкую трубу. В результате происходит отрыв потока , создавая зоны рециркуляционного разделения на входе в более узкую трубу. Основной поток сжимается между отдельными участками потока, а затем снова расширяется, чтобы покрыть всю площадь трубы.

потеря напора незначительна Между поперечным участком 1 до сокращения и поперечным участком 3, контрактной веной, в которой основной поток сокращается сильнее всего, . Но при расширении потока от сечения 3 к сечению 2 возникают существенные потери. Эти потери напора можно выразить с помощью уравнения Борда – Карно через использование коэффициента сжатия μ :

$\mu \,=\,{\frac {A_{3}}{A_{2}}},$

где A ₃ - площадь поперечного сечения в месте наибольшего сжатия основного потока 3, а A ₂ - площадь поперечного сечения более узкой части трубы. Поскольку A ₃ ≤ A ₂ , коэффициент сжатия меньше единицы: µ ≤ 1. Опять же, существует сохранение массы, поэтому объемные потоки в трех сечениях являются постоянными (при постоянной плотности жидкости ρ ):

$A_{1}\,v_{1}\,=\,A_{2}\,v_{2}\,=\,A_{3}\,v_{3},$

где v ₁ , v ₂ и v ₃ - средняя скорость потока в соответствующих поперечных сечениях. Тогда согласно уравнению Борда–Карно (с коэффициентом потерь ξ =1) потери энергии ΔE на единицу объема жидкости и за счет усадки трубы составят:

$\Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{3}\,-\,v_{2}\right)^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\mu }}\,-\,1\right)^{2}\,v_{2}^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\mu }}\,-\,1\right)^{2}\,\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.$

Соответствующую потерю общего напора ΔH можно рассчитать как ΔH = ΔE /( ρg ).

По измерениям Вейсбаха , коэффициент сжатия при остроконечном сокращении составляет примерно:

$\mu \,=\,0.63\,+\,0.37\,\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{3}.$

Вывод из баланса импульсов для внезапного расширения

Для внезапного расширения трубы (см . рисунок выше) уравнение Борда-Карно можно вывести из массы и сохранения импульса потока. Поток импульса S (т.е. для компонента импульса жидкости, параллельного оси трубы) через поперечное сечение площади A составляет – в соответствии с уравнениями Эйлера :

$S=A\,\left(\rho \,v^{2}+p\right).$

Рассмотрим сохранение массы и импульса для контрольного объема, ограниченного поперечным сечением 1 непосредственно перед расширением, поперечным сечением 2 после того места, где поток снова присоединяется к стенке трубы (после отрыва потока при расширении), и стенка трубы. Имеется прирост импульса S ₁ управляющего объема на входе и потеря S ₂ на выходе. Кроме того, имеется вклад силы F от давления на жидкость со стороны стенки расширения (перпендикулярно оси трубы):

$F=(A_{2}-A_{1})\,p_{1},$

где предполагалось, что давление равно давлению p ₁ на входе .

Складывая вклады, баланс импульсов для контрольного объема между сечениями 1 и 2 дает:

$S_{1}-S_{2}+F=A_{1}\,\left(\rho \,v_{1}^{2}+p_{1}\right)-A_{2}\,\left(\rho \,v_{2}^{2}+p_{2}\right)+(A_{2}-A_{1})\,p_{1}=0.$

Следовательно, поскольку по сохранению массы ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ :

$\Delta p=p_{1}-p_{2}=-\rho \,\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=-\rho \,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,\left(1-{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2},$

в соответствии с перепадом давления Δ p в приведенном выше примере.

Потери механической энергии Δ E составляют:

${\begin{aligned}\Delta E&=\left(p_{1}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{1}^{2}\right)-\left(p_{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{2}^{2}\right)=\Delta p+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)\\&=-\rho \,v_{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-2\,v_{1}\,v_{2}+v_{2}^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2},\end{aligned}}$

которое представляет собой уравнение Борда–Карно (с ξ = 1).

См. также

• Уравнение Дарси – Вейсбаха
• Уравнение Прони

Ссылки

• Бэтчелор, Джордж К. (1967), Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-66396-0 , 634 с.
• Шансон, Хьюберт (2004), Гидравлика потока в открытом канале: введение (2-е изд.), Баттерворт – Хайнеманн, ISBN  978-0-7506-5978-9 , 634 с.
• Мэсси, Бернард Стэнфорд; Уорд-Смит, Джон (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-0-7487-4043-7 , 706 стр.