Плоскость (теория систем)

Плоскостность в теории систем — это свойство системы, которое расширяет понятие управляемости от линейных систем до нелинейных динамических систем . Система, обладающая свойством плоскостности, называется плоской системой . Плоские системы имеют (фиктивный) плоский выход , который можно использовать для явного выражения всех состояний и входов через плоский выход и конечное число его производных.

Определение

Нелинейная система

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{n},{\text{Rank}}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}=m$

является плоским, если существует выход

$\mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))$

который удовлетворяет следующим условиям:

Сигналы $y_{i},i=1,...,m$ представимы как функции состояний $x_{i},i=1,...,n$ и входы $u_{i},i=1,...,m$ и конечное число производных по времени $u_{i}^{(k)},k=1,...,\alpha _{i}$ : $\mathbf {y} =\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {u} ,{\dot {\mathbf {u} }},...,\mathbf {u} ^{(\alpha )})$ .
Штаты $x_{i},i=1,...,n$ и входы $u_{i},i=1,...,m$ представимы как функции выходов $y_{i},i=1,...,m$ и его производные по времени $y_{i}^{(k)},i=1,...,m$ .
Компоненты $\mathbf {y}$ дифференциально независимы, то есть не удовлетворяют никакому дифференциальному уравнению вида $\phi (\mathbf {y} ,{\dot {\mathbf {y} }},\mathbf {y} ^{(\gamma )})=\mathbf {0}$ .

Если эти условия выполняются хотя бы локально, то выход (возможно, фиктивный) называется плоским выходом , а система — плоской .

Связь с управляемостью линейных систем.

система Линейная ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}$ с теми же размерностями сигнала для $\mathbf {x} ,\mathbf {u}$ поскольку нелинейная система плоская тогда и только тогда, когда она управляема . Для линейных систем оба свойства эквивалентны и, следовательно, взаимозаменяемы.

Значение

Свойство плоскостности полезно как для анализа, так и для синтеза регуляторов нелинейных динамических систем. Это особенно полезно для решения задач планирования траектории и асимптотического управления после заданного значения.

Литература

М. Флисс, Ж. Л. Левин, П. Мартен и П. Рушон: Плоскостность и дефект нелинейных систем: вводная теория и примеры. Международный журнал контроля 61( 6 ), стр. 1327-1361, 1995 г. [1]
А. Исидори, CH Moog и А. Де Лука. Достаточное условие для полной линеаризации посредством динамической обратной связи по состоянию. 25-я конференция CDC IEEE, Афины, Греция, стр. 203–208, 1986 г. [2]

См. также