Паратингентный конус

В математике паратингентный конус и контингентный конус были введены Булигандом ( 1932 ) и тесно связаны с касательными конусами .

Определение

Позволять $S$ быть непустым подмножеством вещественного нормированного векторного пространства $(X,\|\cdot \|)$ .

Пусть некоторые ${\bar {x}}\in \operatorname {cl} (S)$ точкой завершения быть $S$ . Элемент $h\in X$ называется касательной (или касательным вектором ) к $S$ в ${\bar {x}}$ , если существует последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ элементов $x_{n}\in S$ и последовательность $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ положительных действительных чисел $\lambda _{n}>0$ такой, что ${\bar {x}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ и $h=\lim _{n\to \infty }\lambda _{n}(x_{n}-{\bar {x}}).$
Набор $T(S,{\bar {x}})$ всех касательных к $S$ в ${\bar {x}}$ называется контингентным конусом (или касательным конусом Булиганда ), к которому $S$ в ${\bar {x}}$ . ^[1]

Эквивалентное определение дается в терминах функции расстояния и предельной нижней границы.Как и раньше, пусть $(X,\|\cdot \|)$ быть нормированным векторным пространством и взять некоторое непустое множество $S\subset X$ . Для каждого $x\in X$ , пусть функция расстояния равна $S$ быть

d_{S}(x):=\inf\{\|x-x'\|\mid x'\in S\}.

Тогда конус контингентный $S\subset X$ в $x\in \operatorname {cl} (S)$ определяется ^[2]

T_{S}(x):=\left\{v:\liminf _{h\to 0^{+}}{\frac {d_{S}(x+hv)}{h}}=0\right\}.

Ссылки

^ Йоханнес, Ян (2011). Векторная оптимизация . Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 90–91. дои : 10.1007/978-3-642-17005-8 . ISBN 978-3-642-17005-8 .
^ Обен, Жан-Пьер; Франковска, Элен (2009). «Глава 4: Касательные конусы». Многозначный анализ . Современная классика Биркхойзера. Бостон: Биркхойзер. п. 121. дои : 10.1007/978-0-8176-4848-0_4 . ISBN 978-0-8176-4848-0 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Йоханнес, Ян (2011). Векторная оптимизация . Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 90–91. дои : 10.1007/978-3-642-17005-8 . ISBN 978-3-642-17005-8 .

[2] Обен, Жан-Пьер; Франковска, Элен (2009). «Глава 4: Касательные конусы». Многозначный анализ . Современная классика Биркхойзера. Бостон: Биркхойзер. п. 121. дои : 10.1007/978-0-8176-4848-0_4 . ISBN 978-0-8176-4848-0 .

[1]

[2]