Эксиммедиан

В евклидовой геометрии экссиммедианы представляют собой три прямые , связанные с треугольником . Точнее, для данного треугольника экссиммедианы — это касательные треугольника, к описанной окружности проходящие через три вершины треугольника. Треугольник, образованный тремя экссиммедианами, является тангенциальным треугольником ; его вершины, то есть три пересечения экссиммедиан, называются экссиммедианными точками .

Для треугольника $△ ABC$ , где $e a, e b, e c$ являются экссиммедианами, $а sa, s b, sc$ являются симедианами, проходящими через вершины $A, B, C$ , две экссиммедианы и одна симмедиана пересекаются в общей точке:

${\begin{aligned}E_{a}&=e_{b}\cap e_{c}\cap s_{a}\\E_{b}&=e_{a}\cap e_{c}\cap s_{b}\\E_{c}&=e_{a}\cap e_{b}\cap s_{c}\end{aligned}}$

Длина отрезка перпендикуляра, соединяющего сторону треугольника с связанной с ней экссиммедианой точкой, пропорциональна этой стороне треугольника. В частности, применяются следующие формулы:

${\begin{aligned}k_{a}&=a\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+b^{2}-a^{2}}}\\[6pt]k_{b}&=b\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}\\[6pt]k_{c}&=c\cdot {\frac {2\triangle }{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{aligned}}$

Здесь $△$ обозначает площадь треугольника $△ ABC$ , а $k a, k b, k c$ обозначают отрезки перпендикуляров, соединяющие стороны треугольника $a, b, c$ с экссиммедианными точками $E a, E b, E c$ .

Ссылки

Роджер А. Джонсон: Расширенная евклидова геометрия . Дувр 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , стр. 214–215 (первоначально опубликовано в 1929 году компанией Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием Modern Geometry ).