Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля

В обработке сигналов полиномиальное распределение Вигнера-Вилля представляет собой квазивероятностное распределение , которое обобщает функцию распределения Вигнера . Его предложили Буалем Боашаш и Питер О'Ши в 1994 году.

Введение

Многие сигналы в природе и в инженерных приложениях можно смоделировать как $z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}$, где $\phi (t)$ является полиномиальной фазой и $j={\sqrt {-1}}$.

Например, важно обнаружить сигналы произвольной полиномиальной фазы высокого порядка. Однако традиционное распределение Вигнера – Вилля имеет ограничение, основанное на статистике второго порядка. Следовательно, полиномиальное распределение Вигнера-Вилля было предложено как обобщенная форма обычного распределения Вигнера-Вилля, которое способно работать с сигналами с нелинейной фазой.

Определение

Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля $W_{z}^{g}(t,f)$ определяется как

$W_{z}^{g}(t,f)={\mathcal {F}}_{\tau \to f}\left[K_{z}^{g}(t,\tau )\right]$

где ${\mathcal {F}}_{\tau \to f}$ обозначает преобразование Фурье по отношению к $\tau$, и $K_{z}^{g}(t,\tau )$ - это полиномиальное ядро, заданное формулой

$K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=-{\frac {q}{2}}}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}$

где $z(t)$ входной сигнал и $q$ это четное число. Приведенное выше выражение для ядра можно переписать в симметричной форме как

$K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}$

Версия полиномиального распределения Вигнера – Вилля с дискретным временем задается Фурье дискретным преобразованием

$K_{z}^{g}(n,m)=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(n+c_{k}m\right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(n+c_{-k}m\right)\right]^{-b_{-k}}$

где $n=t{f}_{s},m={\tau }{f}_{s},$ и $f_{s}$ — частота дискретизации. Обычное распределение Вигнера–Вилля является частным случаем полиномиального распределения Вигнера–Вилля с $q=2,b_{-1}=-1,b_{1}=1,b_{0}=0,c_{-1}=-{\frac {1}{2}},c_{0}=0,c_{1}={\frac {1}{2}}$

Пример

Одно из простейших обобщений обычного ядра распределения Вигнера–Вилля можно получить, взяв $q=4$. Набор коэффициентов $b_{k}$ и $c_{k}$ необходимо найти, чтобы полностью указать новое ядро. Например, мы установили

$b_{1}=-b_{-1}=2,b_{2}=b_{-2}=1,b_{0}=0$

$c_{1}=-c_{-1}=0.675,c_{2}=-c_{-2}=-0.85$

Результирующее ядро ​​дискретного времени будет иметь вид

$K_{z}^{g}(n,m)=\left[z\left(n+0.675m\right)z^{*}\left(n-0.675m\right)\right]^{2}z^{*}\left(n+0.85m\right)z\left(n-0.85m\right)$

Проектирование практического полиномиального ядра

Учитывая сигнал $z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}$, где $\phi (t)=\sum _{i=0}^{p}a_{i}t^{i}$является полиномиальной функцией, ее мгновенная частота (ПЧ) равна $\phi '(t)=\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}$.

Для практического полиномиального ядра $K_{z}^{g}(t,\tau )$, набор коэффициентов $q,b_{k}$и $c_{k}$следует выбирать правильно так, чтобы

${\begin{aligned}K_{z}^{g}(t,\tau )&=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}\\&=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}\tau )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}W_{z}^{g}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-j2\pi (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\tau )d\tau \\&\cong \delta (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\end{aligned}}$

• Когда $q=2,b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{1}=1,p=2$,

$z\left(t+c_{1}\tau \right)z^{*}\left(t+c_{-1}\tau \right)=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{2}ia_{i}t^{i-1}\tau )$

$a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau$

$\Rightarrow c_{1}-c_{-1}=1,c_{1}+c_{-1}=0$

$\Rightarrow c_{1}={\frac {1}{2}},c_{-1}=-{\frac {1}{2}}$

• Когда $q=4,b_{-2}=b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{2}=b_{1}=1,p=3$

${\begin{aligned}&a_{3}(t+c_{1})^{3}+a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})\\&a_{3}(t+c_{2})^{3}+a_{2}(t+c_{2})^{2}+a_{1}(t+c_{2})\\&-a_{3}(t+c_{-1})^{3}-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})\\&-a_{3}(t+c_{-2})^{3}-a_{2}(t+c_{-2})^{2}-a_{1}(t+c_{-2})\\&=3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau \end{aligned}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}c_{1}+c_{2}-c_{-1}-c_{-2}=1\\c_{1}^{2}+c_{2}^{2}-c_{-1}^{2}-c_{-2}^{2}=0\\c_{1}^{3}+c_{2}^{3}-c_{-1}^{3}-c_{-2}^{3}=0\end{cases}}$

Приложения

Нелинейные ЧМ-сигналы широко распространены как в природе, так и в инженерных приложениях. Например, гидролокационная система некоторых летучих мышей использует гиперболические FM и квадратичные FM-сигналы для определения местоположения эха. В радарах в некоторых схемах сжатия импульсов используются линейные ЧМ и квадратичные сигналы. Распределение Вигнера -Вилля имеет оптимальную концентрацию в частотно-временной плоскости для сигналов с линейной частотной модуляцией . Однако для нелинейных частотно-модулированных сигналов оптимальная концентрация не достигается, и в результате получаются размытые спектральные представления. Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля может быть разработано для решения такой проблемы.

Ссылки

• Боашаш, Б.; О'Ши, П. (1994). «Полиномиальные распределения Вигнера-Вилля и их связь с изменяющимися во времени спектрами высшего порядка» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 42 (1): 216–220. Бибкод : 1994ITSP...42..216B . дои : 10.1109/78.258143 . ISSN   1053-587X .
• Люк, Франклин Т.; Бенидир, Мессауд; Боашаш, Буалем (июнь 1995 г.). Полиномиальные распределения Вигнера-Вилля . Слушания SPIE. Слушания . Полет. 2563. Сан-Диего, Калифорния. стр. 69–79. дои : 10.1117/12.211426 . ISSN   0277-786X .
• «Полиномиальные распределения Вигнера – Вилля и изменяющиеся во времени высшие спектры», в Proc. Время-Частота. Time-Scale Anal., Виктория, Британская Колумбия, Канада, октябрь 1992 г., стр. 31–34.