Мембрана Дирака

В квантовой механике мембрана Дирака представляет собой модель заряженной мембраны, введенную Полем Дираком в 1962 году. Первоначальная мотивация Дирака заключалась в том, чтобы объяснить массу мюона как возбуждение основного состояния, соответствующего электрону . Предвидя рождение теории струн почти на десять лет, он первым представил то, что сейчас называется типом действия Намбу-Гото для мембран.

В модели мембраны Дирака отталкивающие электромагнитные силы, действующие на мембрану, уравновешиваются сжимающими силами, возникающими из-за положительного напряжения. В случае сферической мембраны из классических уравнений движения следует, что баланс соблюдается для радиуса $0.75r_{e}$, где $r_{e}$ – классический радиус электрона . Используя условие квантования Бора-Зоммерфельда для гамильтониана сферически-симметричной мембраны, Дирак находит приближение массы, соответствующей первому возбуждению, как $53m_{e}$, где $m_{e}$ — масса электрона, составляющая около четверти наблюдаемой массы мюона.

Принцип действия

Дирак избрал нестандартный способ формулировки принципа действия мембраны. Поскольку закрытые мембраны в $\mathbb {R} ^{3}$ обеспечить естественное разделение пространства на внутреннее и внешнее существует особая криволинейная система координат $x^{\mu }$ в пространстве-времени и функция $f(x)$ такой, что

- $f(x)=0$ определяет мембрану

- $f(x)>0$, $f(x)<0$ описать область снаружи или внутри мембраны

Выбор $x^{1}=f(x)$ и следующий калибр $\sigma ^{0}=x^{0}=:\tau$, $\sigma ^{1}=x^{2}$, $\sigma ^{2}=x^{3}$ где $\sigma ^{\alpha }$, ( $\alpha =0,1,2$) — внутренняя параметризация мирового объёма мембраны, действие мембраны, предложенное Дираком, —

$S=S_{EM}+S_{membrane}$

$S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{mem.}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}$

где индуцированная метрика и факторы J и M имеют вид

$g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3$

$J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}$

В приведенном выше $y^{\Lambda }$ являются прямолинейными и ортогональными. Используемая пространственно-временная сигнатура (+,-,-,-). Обратите внимание, что $S_{EM}$ является обычным действием электромагнитного поля в криволинейной системе, а $S_{membrane}$– это интеграл по мировому объему мембраны, т.е. именно тот тип действия, который позже использовался в теории струн.

Уравнения движения

Имеются 3 уравнения движения, следующие из вариации по отношению к $A_{\mu }$ и $y^{\Lambda }$. Они есть:- вариация относительно $A_{\mu }$ для $x_{1}>0$ - это приводит к уравнениям Максвелла без источников - вариация относительно $y^{\Lambda }$ для $x_{1}>0$ - это дает следствие уравнений Максвелла- вариация относительно $y^{\Lambda }$ для $x_{1}=0$

${\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }$

Последнее уравнение имеет геометрическую интерпретацию: правая сторона пропорциональна кривизне мембраны. Для сферически-симметричного случая получаем

${\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}$

Следовательно, условие баланса ${\dot {\rho }}=0$ подразумевает $a^{3}=e^{2}/4\omega$ где $a$ – радиус сбалансированной мембраны. Полная энергия сферической мембраны радиуса $\rho$ является

$E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}$

и оно минимально в равновесии для $\beta =\omega$, следовательно $E(a)=3e^{2}/4a$. С другой стороны, полная энергия в равновесии должна быть равна $m_{e}$ (в $c=1$ единицы)и таким образом мы получаем $a=0.75r_{e}$.

гамильтонова формулировка

Малые колебания около положения равновесия в сферически-симметричном случае подразумевают частоты ${\sqrt {6}}/a$. Следовательно, если обратиться к квантовой теории, энергия одного кванта будет равна $h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}$.Это намного больше, чем масса мюона, но частоты ни в коем случае не малы, поэтому такое приближение может работать неправильно. Чтобы получить лучшую квантовую теорию, необходимо вычислить гамильтониан системы и решить соответствующее уравнение Шредингера.

Для гамильтоновой формулировки Дирак вводит обобщенные импульсы

- для $x^{1}>0$: $B^{\mu }$ и $w_{R}$ - импульсы, сопряженные с $A_{\mu }$ и $y^{R}$ соответственно ( $R=1,2,3$, согласовать выбор $x^{0}=y^{0}$)

- для $x^{1}=0$: $W_{R}$ - импульсы, сопряженные с $y^{R}$

Тогда можно заметить следующие ограничения

- для месторождения Максвелла

$B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0$

- для мембранных импульсов

$W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)$

где $c^{ab}$ - взаимность $g_{ab}$, $a,b=0,2,3$.

Эти ограничения необходимо учитывать при вычислении гамильтониана с использованием метода скобок Дирака . Результатом этого расчета является гамильтониан вида

$H=H_{EM}+H_{s}$

$H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}$

где $H_{EM}$ – гамильтониан электромагнитного поля, записанный в криволинейной системе.

Квантование

Для сферически-симметричного движения гамильтониан имеет вид

$H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1$

однако прямое квантование неясно из-за квадратного корня дифференциального оператора. Чтобы получить дальнейшие сведения, Дирак рассматривает метод Бора-Зоммерфельда:

$2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho$

и находит $E_{1}\approx 53m_{e}$ для $n=1$.

См. также

• Брана

Ссылки

• ПАМ Дирак, Расширяемая модель электрона, Proc. Рой. Соц. А268, (1962) 57–67.