Гранично-несжимаемая поверхность

В низкомерной топологии — несжимаемая по границе поверхность это двумерная поверхность внутри трехмерного многообразия , топологию которой нельзя упростить с помощью операции определенного типа, известной как сжатие границ .

Предположим, что M — 3-многообразие с краем . Предположим также, что S — компактная поверхность с краем, правильно вложенным в M ,это означает, что граница S является подмножеством границы M , а внутренние точки S являются подмножеством внутренних точек M .Диском , сжимающим границы для S в M, называется диск D в M такой, что $D\cap S=\alpha$ и $D\cap \partial M=\beta$ являются дугами в $\partial D$, с $\alpha \cup \beta =\partial D$, $\alpha \cap \beta =\partial \alpha =\partial \beta$, и $\alpha$ является существенной дугой в S ( $\alpha$ не связывает диск в S с другой дугой в $\partial (S$).

Поверхность S называется сжимаемой по границе, если либо S является диском, сограничивающим шар с диском в $\partial M$ или существует диск, сжимающий границу для S в M . В противном случае S несжимаема по границе .

В качестве альтернативы можно ослабить это определение, отбросив требование о том, чтобы поверхность была должным образом встроена. Предположим теперь, что S — компактная поверхность (с краем), вложенная в край 3-многообразия M . Предположим далее, что D — правильно вложенный диск в M такой, что D пересекает S по существенной дуге (той, которая не связывает диск в S с другой дугой в $\partial S$). Тогда D называется диском, сжимающим границу для S в M . Как и выше, S называется сжимаемым по границам, если либо S является диском в $\partial M$ или существует диск, сжимающий границу для S в M . В противном случае S несжимаема по границе.

Например, если K — узел-трилистник, встроенный в границу полнотория V , а S — замыкание небольшой кольцевой окрестности K в $\partial V$, то S не вложено должным образом в V , поскольку внутренность S не содержится во внутренности V . Однако S встроен в $\partial V$ и не существует диска, сжимающего границу для S в V , поэтому S несжимаемо по границе по второму определению.

См. также

• Несжимаемая поверхность

Ссылки

• В. Жако, Лекции по топологии трех многообразий , том 43 серии региональных конференций CBMS по математике. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1980.
• Т. Кобаяши, Конструкция 3-многообразий, классы гомеоморфизма которых расщеплений Хегора имеют полиномиальный рост , Osaka J. Math. 29 (1992), вып. 4, 653–674. МИСТЕР 1192734 .