Интенсивность (теория меры)

В математической дисциплине теории меры интенсивность это среднее значение , меры — которое мера присваивает интервалу длины один.

Определение

Позволять $\mu$ быть мерой действительных чисел. Тогда интенсивность ${\overline {\mu }}$ из $\mu$ определяется как

${\overline {\mu }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\mu ((-s,t-s])}{t}}$

если предел существует и не зависит от $s$ для всех $s\in \mathbb {R}$.

Пример

Посмотрите на меру Лебега. $\lambda$. Тогда для фиксированного $s$, это

$\lambda ((-s,t-s])=(t-s)-(-s)=t,$

так

${\overline {\lambda }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\lambda ((-s,t-s])}{t}}=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {t}{t}}=1.$

Следовательно, мера Лебега имеет интенсивность единицу.

Характеристики

Комплекс всех мер $M$ для которого интенсивность четко определена, является измеримым подмножеством всех мер по $\mathbb {R}$. Отображение

$I\colon M\to \mathbb {R}$

определяется

$I(\mu )={\overline {\mu }}$

измеримо ​ .

Ссылки

• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 173. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3 .