Агрегативные игры

В теории игр агрегативная игра — это игра, в которой выигрыш каждого игрока является функцией его собственной стратегии и совокупности стратегий всех игроков. Концепция была впервые предложена нобелевским лауреатом Рейнхардом Зельтеном в 1970 году, который рассматривал случай, когда совокупность представляет собой сумму стратегий игроков.

Определение

Рассмотрим стандартную некооперативную игру с n игроками, где $S_{i}\subseteq \mathbb {R}$ — набор стратегий игрока i , $S=S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{n}$ это совместный стратегический набор, и $f_{i}:S\to \mathbb {R}$ – функция выигрыша игрока i . Тогда игра называется агрегативной игрой , если для каждого игрока i существует функция ${\tilde {f}}_{i}:S_{i}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что для всех $s\in S$:

$f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}\left(s_{i},\sum _{j=1}^{n}s_{j}\right)$

игроков Другими словами, функции выигрыша в агрегатных играх зависят от собственных стратегий и совокупности $\sum s_{j}$. В качестве примера рассмотрим модель Курно , где фирма i имеет функцию выигрыша/прибыли. $f_{i}(s)=s_{i}P\left(\sum s_{j}\right)-C_{i}(s_{i})$ (здесь $P$ и $C_{i}$ – соответственно обратная функция спроса и функция издержек фирмы i ). Это агрегативная игра, так как $f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}\left(s_{i},\sum s_{j}\right)$ где ${\tilde {f}}_{i}(s_{i},X)=s_{i}P(X)-C_{i}(s_{i})$.

Обобщения

В литературе появился ряд обобщений стандартного определения агрегатной игры. Игра является обобщенно-агрегативной. если существует аддитивно разделимая функция $g:S\to \mathbb {R}$ (т.е. если существуют возрастающие функции $h_{0},h_{1},\ldots ,h_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что $g(s)=h_{0}(\sum _{i}h_{i}(s_{i}))$) такой, что для каждого игрока i существует функция ${\tilde {f}}_{i}:S_{i}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что $f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}(s_{i},g(s_{1},\ldots ,s_{n}))$ для всех $s\in S$. Очевидно, что любая агрегативная игра является обобщенно-агрегативной, если взять $g(s_{1},\ldots ,s_{n})=\sum s_{i}$. Более общим определением по-прежнему является определение квазиагрегативных игр , в которых функции выигрыша агентов могут зависеть от различных функций стратегий оппонентов. Агрегативные игры также можно обобщить, чтобы в них участвовало бесконечное количество игроков, и в этом случае агрегатор обычно представляет собой целую, а не линейную сумму. Агрегатные игры с континуумом игроков часто изучаются в теории игр среднего поля .

Характеристики

• Обобщенные агрегатные игры (следовательно, агрегатные игры) допускают обратные ответные соответствия и фактически являются наиболее общим классом, допускающим это. Обратные ответные корреспонденции, а также тесно связанные с ними долевые корреспонденции являются мощными аналитическими инструментами в теории игр. Например, обратные ответные соответствия были использованы, чтобы дать первое общее доказательство существования равновесия Нэша в модели Курно без предположения квазивогнутости функций прибыли фирм. Обратные ответные соответствия также играют решающую роль для сравнительного статического анализа (см. ниже).
• Квазиагрегативные игры (следовательно, обобщенные агрегатные игры, следовательно, агрегатные игры) являются потенциальными играми с лучшим ответом , если соответствия наилучшего ответа либо увеличиваются, либо уменьшаются. Точно так же, как и игры со стратегической взаимодополняемостью , такие игры имеют чисто стратегическое равновесие Нэша независимо от того, являются ли функции выигрыша квазивогнутыми и/или множества стратегий выпуклыми . Доказательство существования в является частным случаем таких более общих результатов существования.
• Агрегативные игры обладают сильными свойствами сравнительной статики . В очень общих условиях можно предсказать, как изменение экзогенных параметров повлияет на равновесие Нэша .

См. также

• Бертран конкурс
• Конкурс Курно
• Теория игр среднего поля

Ссылки

• Зельтен, Р. (1970). Ценовая политика многопродуктовых компаний в статической теории (Первое изд.). Шпрингер Верлаг, Берлин.