Теорема Леви о непрерывности

В теории вероятностей , теорема Леви о непрерывности или теорема сходимости Леви , названный в честь французского математика Поля Леви , связывает сходимость в распределении последовательности случайных величин с поточечной сходимостью их характеристических функций . Эта теорема является основой одного подхода к доказательству центральной предельной теоремы и одной из основных теорем, касающихся характеристических функций.

Заявление

Предположим, у нас есть

• последовательность случайных величин ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, не обязательно разделяющие общее вероятностное пространство ,
• последовательность соответствующих характеристических функций ${\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, которые по определению являются

  $\varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,$

  где $\operatorname {E}$ — оператор ожидаемого значения .

Если последовательность характеристических функций поточечно сходится к некоторой функции $\varphi$

$\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,$

тогда следующие утверждения станут эквивалентными:

• $X_{n}$ сходится по распределению к некоторой случайной величине X

  $X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,$

  т.е. кумулятивные функции распределения, соответствующие случайным величинам, сходятся в каждой точке непрерывности функции распределения X ;
• ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ тесно ​ :

  $\lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;$

• $\varphi (t)$ — характеристическая функция некоторой случайной величины X ;
• $\varphi (t)$ является непрерывной t ; функцией
• $\varphi (t)$ непрерывен = при t 0.

Доказательство

Имеются строгие доказательства этой теоремы.