Метод фиктивной силы единицы

Метод фиктивной силы Unit предоставляет удобные средства для расчета смещений в структурных системах. Она применима как к линейному, так и к нелинейному поведению материалов, а также к системам, подверженным воздействию окружающей среды, и, следовательно, является более общей, чем вторая теорема Кастильяно .

Дискретные системы

Рассмотрим дискретную систему, такую ​​как фермы, балки или рамы, элементы которых соединены между собой в узлах. Пусть согласованный набор деформаций элементов задается формулой $\mathbf {q} _{M\times 1}$, которое можно вычислить с помощью отношения гибкости члена . Эти деформации элементов приводят к узловым смещениям. $\mathbf {r} _{N\times 1}$, который мы хотим определить.

Начнем с применения N виртуальных узловых сил. $\mathbf {R} _{N\times 1}^{*}$, по одному на каждый требуемый r , и найдите виртуальные члены сил $\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}$ которые находятся в равновесии с $\mathbf {R} _{N\times 1}^{*}$:

$$\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}=\mathbf {B} _{M\times N}\mathbf {R} _{N\times 1}^{*}$$ ( 1 )

В случае статически неопределимой системы матрица B не единственна, поскольку множество $\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}$ которое удовлетворяет узловому равновесию, бесконечно. Его можно вычислить как обратную матрицу узлового равновесия любой первичной системы, полученной из исходной системы.

Представьте себе, что внутренние и внешние виртуальные силы претерпевают соответственно реальные деформации и перемещения; совершенную виртуальную работу можно выразить как:

• Внешняя виртуальная работа: $\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r}$
• Внутренняя виртуальная работа: $\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q}$

Согласно принципу виртуальной работы , два рабочих выражения равны: $$\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q}$$

Замена (1) дает $$\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} .$$

С $\mathbf {R} ^{*}$ содержит произвольные виртуальные силы, приведенное выше уравнение дает

$$\mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$$ ( 2 )

Примечательно, что вычисление в (2) не требует какого-либо интегрирования независимо от сложности систем и что результат уникален независимо от выбора первичной системы для B . Таким образом, он является гораздо более удобным и общим, чем классическая форма метода фиктивной единичной нагрузки, которая зависит от типа системы, а также от наложенных внешних воздействий. С другой стороны, важно отметить, что уравнение (2) предназначено только для расчета смещений или поворотов узлов. Это не ограничение, поскольку при желании мы можем превратить любую точку в узел.

Наконец, название удельной нагрузки возникает из интерпретации того, что коэффициенты $B_{i,j}$ в матрице B — силы-члены, находящиеся в равновесии с единичной узловой силой $R_{j}^{*}=1$, в силу уравнения (1).

Общие системы

Для общей системы метод единичной фиктивной силы также исходит непосредственно из принципа виртуальной работы . На рис. (а) показана система с известными фактическими деформациями. ${\boldsymbol {\epsilon }}$. Эти деформации, предположительно последовательные, вызывают смещения во всей системе. Например, точка A переместилась в точку A', и мы хотим вычислить смещение r точки A в указанном направлении. Для этой конкретной цели мы выбираем систему виртуальных сил на рис. (b), которая показывает:

• Единичная сила R * находится в точке A и в направлении r, так что внешняя виртуальная работа, совершаемая R *, равна нулю, поскольку работа, совершаемая виртуальными реакциями в (b), равна нулю, поскольку их перемещения в (a) равны нулю. : $$R^{*}\times r=1\times r$$ желаемое смещение
• Внутренняя виртуальная работа, совершаемая виртуальными напряжениями, равна $$\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV$$ где виртуальные напряжения ${\boldsymbol {\sigma }}^{*}$ должно везде удовлетворять равновесию.

Приравнивание двух рабочих выражений дает желаемое смещение: $$1\times r=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV$$