Меандр (математика)

В математике меандр пересекает или закрытый меандр — это самоизбегающая замкнутая кривая , которая пересекает заданную линию несколько раз, что означает, что она линию , переходя с одной стороны на другую. Интуитивно меандр можно рассматривать как извилистую реку с прямой дорогой, пересекающей реку по нескольким мостам. Поэтому точки пересечения линии и кривой называются «мостами».

Меандр

Учитывая фиксированную линию L в евклидовой плоскости , меандр порядка n представляет собой самоизбегающую замкнутую кривую на плоскости, которая пересекает линию в 2 n точках. Два меандра эквивалентны, если один меандр можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом свое свойство быть меандром и оставляя неизменным порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются.

Примеры

Одиночный меандр 1-го порядка дважды пересекает линию:

Этот меандр пересекает линию четыре раза и, следовательно, имеет порядок 2:

Есть два меандра второго порядка. При переворачивании изображения по вертикали получается второй.

Вот два неэквивалентных меандра третьего порядка, каждый из которых пересекает линию шесть раз:

Меандрические числа

Число различных меандров порядка есть меандрическое число Mn _. n Ниже приведены первые пятнадцать меандрических чисел (последовательность A005315 в OEIS ).

М ₁ = 1

М2 ₂ =

M ₃ = 8

М ₄ = 42

М ₅ = 262

М ₆ = 1828

М ₇ = 13820

М ₈ = 110954

М ₉ = 933458

М ₁₀ = 8152860

М ₁₁ = 73424650

М ₁₂ = 678390116

М ₁₃ = 6405031050

М ₁₄ = 61606881612

М ₁₅ = 602188541928

Меандрические перестановки

Меандрическая перестановка
(1 8 5 4 3 6 7 2)

Меандрическая перестановка порядка n определена на множестве {1, 2, ..., 2 n } и определяется следующим образом:

• Когда линия ориентирована слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечается целыми числами, начиная с 1.
• Кривая ориентирована вверх в месте пересечения, обозначенном цифрой 1.
• Циклическая перестановка без фиксированных точек получается путем прохождения ориентированной кривой через отмеченные точки пересечения.

На диаграмме справа меандрическая перестановка четвертого порядка имеет вид (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической записи , и ее не следует путать с однострочной записью .

Если π — меандрическая перестановка, то π ² состоит из двух циклов , один из которых содержит все четные символы, а другой - все нечетные символы. Перестановки с этим свойством называются альтернативными перестановками , поскольку символы в исходной перестановке чередуются между нечетными и четными целыми числами. Однако не все альтернативные перестановки являются меандрическими, поскольку их невозможно нарисовать без введения самопересечения в кривую. Например, альтернативная перестановка третьего порядка (1 4 3 6 5 2) не является меандрической.

Открытый меандр

Учитывая фиксированную линию L в евклидовой плоскости, открытый меандр порядка n представляет собой несамопересекающуюся кривую на плоскости, которая пересекает линию в n точках. Два открытых меандра эквивалентны, если один можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом его свойство быть открытым меандром и оставляя неизменным порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются.

Примеры

Разомкнутый меандр 1-го порядка пересекает линию один раз:

Разомкнутый меандр 2-го порядка дважды пересекает линию:

Открытые меандрические числа

Число различных открытых меандров порядка n есть открытое меандрическое число m _n . Ниже приведены первые пятнадцать открытых меандрических чисел (последовательность A005316 в OEIS ).

м ₁ = 1

м2 ₁ =

m ₃ = 2

м ₄ = 3

м ₅ = 8

м ₆ = 14

м ₇ = 42

м ₈ = 81

м ₉ = 262

м ₁₀ = 538

м ₁₁ = 1828

м ₁₂ = 3926

м ₁₃ = 13820

м ₁₄ = 30694

м ₁₅ = 110954

Полумеандр

Для фиксированного ориентированного луча R (замкнутой полупрямой) в евклидовой плоскости полумеандр порядка n представляет собой несамопересекающуюся замкнутую кривую на плоскости, пересекающую луч в n точках. Два полумеандра эквивалентны, если один можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом свое свойство быть полумеандром и оставляя неизменным порядок мостов на луче в том порядке, в котором они пересекаются.

Примеры

Полумеандр 1-го порядка пересекает луч один раз:

Полумеандр 2-го порядка дважды пересекает луч:

Полумеандрические числа

Количество различных полумеандров порядка n представляет собой полумеандрическое число M _n (обычно обозначается подчеркиванием вместо подчеркивания). Ниже приведены первые пятнадцать полумеандрических чисел (последовательность A000682 в OEIS ).

М ₁ = 1

М2 ₁ =

M ₃ = 2

М ₄ = 4

М ₅ = 10

М ₆ = 24

М ₇ = 66

М ₈ = 174

М ₉ = 504

М ₁₀ = 1406

М ₁₁ = 4210

М ₁₂ = 12198

М ₁₃ = 37378

М ₁₄ = 111278

М ₁₅ = 346846

Свойства меандрических чисел

Существует инъективная функция от меандрических чисел к открытым меандрическим числам:

М _п = м _{2 п -1}

Каждое меандрическое число может быть ограничено полумеандрическими числами:

М _н ≤ М _н ≤ М _{2 н}

При n > 1 меандрические числа четные :

М _н ≡ 0 (по модулю 2)

Внешние ссылки

• «Подходы к перечислительной теории меандров» Майкла Лакруа
• П. Ди Франческо; О. Голинелли; Э. Гиттер (октябрь – ноябрь 1997 г.). «Статистика меандра, складок и арок». Математическое и компьютерное моделирование . 26 (8–10): 97–147. arXiv : hep-th/9506030 . дои : 10.1016/S0895-7177(97)00202-1 .