Правила Биош

Правила Биоша , сформулированные французским математиком Шарлем Биошем [ fr ] (1859–1949), представляют собой правила, помогающие вычислить некоторые неопределенные интегралы , в которых подынтегральная функция содержит синусы и косинусы .

В дальнейшем $f(t)$ является рациональным выражением $\sin t$ и $\cos t$ . Чтобы вычислить $\int f(t)\,dt$ , рассмотрим подынтегральную функцию $\omega (t)=f(t)\,dt$ . Рассмотрим поведение всего этого подынтегрального выражения, включая ${\textstyle dt}$ , при перемещении и отражении оси t . Переводы и отражения соответствуют симметрии и периодичности основных тригонометрических функций.

Правила Bioche гласят, что:

Если $\omega (-t)=\omega (t)$ , хорошая замена переменных $u=\cos t$ .
Если $\omega (\pi -t)=\omega (t)$ , хорошая замена переменных $u=\sin t$ .
Если $\omega (\pi +t)=\omega (t)$ , хорошая замена переменных $u=\tan t$ .
Если оба предыдущих соотношения выполняются, то хорошей заменой переменных является $u=\cos 2t$ .
Во всех остальных случаях используйте $u=\tan(t/2)$ .

Поскольку правила 1 и 2 включают переворот оси t , они меняют знак dt , и поэтому поведение ω при этих преобразованиях отличается от поведения ƒ на знак. Хотя правила можно сформулировать в терминах ƒ , их формулировка в терминах ω имеет мнемоническое преимущество, заключающееся в том, что мы выбираем замену переменных u ( t ), которая имеет ту же симметрию, что и ω .

Фактически эти правила можно сформулировать в виде теоремы : показано, что ^{[ 1 ]} что предложенное изменение переменной уменьшает (если правило применимо и если f действительно имеет вид $f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}$ ) к интегрированию рациональной функции в новую переменную, которую можно вычислить путем разложения на частичные дроби .

Случай полиномов

Чтобы вычислить интеграл $\int \sin ^{p}(t)\cos ^{q}(t)dt$ , также применяются правила Bioche.

Если p и q нечетны, используется $u=\cos(2t)$ ;
Если p нечетно, а q четно, используется $u=\cos(t)$ ;
Если p четное, а q нечетное, используется $u=\sin(t)$ ;
В противном случае он сводится к линеаризации .

Другая версия для гиперболических функций

Предположим, человек рассчитывает $\int g(\cosh t,\sinh t)dt$ .

Если правила Биош предполагают расчет $\int g(\cos t,\sin t)dt$ к $u=\cos(t)$ (соответственно, $\sin t,\tan t,\cos(2t),\tan(t/2)$ ), в случае гиперболического синуса и косинуса хорошей заменой переменной является $u=\cosh(t)$ (соответственно, $\sinh(t),\tanh(t),\cosh(2t),\tanh(t/2)$ ). В каждом случае замена переменной $u=e^{t}$ позволяет свести к рациональной функции, причем последняя замена переменной наиболее интересна в четвертом случае ( $u=\tanh(t/2)$ ).

Примеры

Пример 1

В качестве тривиального примера рассмотрим

\int \sin t\,dt.

Затем $f(t)=\sin t$ — нечетная функция, но при отражении оси t от начала координат ω остается прежней. То есть ω действует как четная функция. Это то же самое, что и симметрия косинуса, который является четной функцией, поэтому мнемоника подсказывает нам использовать замену $u=\cos t$ (правило 1). При такой замене интеграл принимает вид $-\int du$ . Подынтегральное выражение, включающее трансцендентные функции, было уменьшено до подынтегрального выражения, включающего рациональную функцию (константу). Результат $-u+c=-\cos t+c$ , что, конечно, элементарно и можно было бы сделать и без правил Биош.

Пример 2

Подынтегральное выражение в

\int {\frac {dt}{\sin t}}

имеет ту же симметрию, что и в примере 1, поэтому используем ту же замену $u=\cos t$ . Так

{\frac {dt}{\sin t}}=-{\frac {du}{\sin ^{2}t}}=-{\frac {du}{\ 1-\cos ^{2}t}}.

Это преобразует интеграл в

\int -{\frac {du}{1-u^{2}}},

которые можно проинтегрировать с помощью простейших дробей, поскольку ${\frac {1}{1-u^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)$ . В результате

\int {\frac {dt}{\sin t}}=-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\cos t}{1-\cos t}}+c.

Пример 3

Учитывать

\int {\frac {dt}{1+\beta \cos t}},

где $\beta ^{2}<1$ . Хотя функция f четна, подынтегральная функция ω в целом нечетна, поэтому она не подпадает под правило 1. В ней также отсутствуют симметрии, описанные в правилах 2 и 3, поэтому мы возвращаемся к последней замене $u=\tan(t/2)$ .

С использованием $\cos t={\frac {1-\tan ^{2}(t/2)}{1+\tan ^{2}(t/2)}}$ и вторая замена $v={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}u$ приводит к результату

\int {\frac {\mathrm {d} t}{1+\beta \cos t}}={\frac {2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\arctan \left[{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\tan {\frac {t}{2}}\right]+c.

Ссылки

^ Видиани, LG (октябрь 1976 г.). «Правила Биоша » (PDF) . Обзор математики и физических наук (на французском языке): 1–2. Архивировано из оригинала 18 июля 2022 года . Проверено 10 июня 2022 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

Цвиллингер, «Справочник по интеграции» , с. 108
Стюарт, «Как это интегрировать: практическое руководство по поиску элементарных интегралов» , стр. 190–197.

[1] Видиани, LG (октябрь 1976 г.). «Правила Биоша » (PDF) . Обзор математики и физических наук (на французском языке): 1–2. Архивировано из оригинала 18 июля 2022 года . Проверено 10 июня 2022 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[ 1 ]