Псевдо-R-квадрат

Здесь отображаются выходные данные R, полученные в результате вычисления значений псевдо-r-квадрата с использованием пакета «pscl» Саймона Джекмана. Псевдо-R-квадрат Макфаддена четко обозначен как «Макфадден», что соответствует псевдо-R-квадрату Коэна. Рядом с этим псевдо-r-квадрат Кокса и Снелла обозначается как «r2ML», а этот тип псевдо-R-квадрата Кокса и Снелла иногда называют просто «ML». Последнее указанное значение, помеченное как «r2CU», представляет собой псевдо-r-квадрат Нагелькерке и совпадает с псевдо-r-квадратом Крэгга и Улера.

Значения псевдо-R-квадрата используются, когда результирующая переменная является номинальной или порядковой, так что коэффициент детерминации R ² не может применяться в качестве меры согласия, а также когда функция правдоподобия используется для подбора модели.

В линейной регрессии квадрат множественной корреляции R ² используется для оценки степени соответствия, поскольку представляет собой долю дисперсии критерия, объясняемую предикторами. В логистическом регрессионном анализе не существует согласованной аналогичной меры, но существует несколько конкурирующих мер, каждая из которых имеет ограничения.

В этой статье рассматриваются четыре наиболее часто используемых индекса и один менее распространенный:

• Отношение правдоподобия R ² _л
• Кокс и Снелл Р. ² _CS
• Нагелькерке Р ² _Н
• Макфадден Р. ² _МакФ
• Бык Р ² _Т

Р ² _L от Коэна

Р ² _L дан Коэном:

$R_{\text{L}}^{2}={\frac {D_{\text{null}}-D_{\text{fitted}}}{D_{\text{null}}}}.$

Это наиболее аналогичный показатель квадратов множественных корреляций в линейной регрессии. Оно представляет собой пропорциональное уменьшение отклонения, при этом отклонение рассматривается как мера вариации, аналогичная, но не идентичная дисперсии в линейном регрессионном анализе. Одно ограничение отношения правдоподобия R ² заключается в том, что оно не связано монотонно с отношением шансов, это означает, что оно не обязательно увеличивается с увеличением отношения шансов и не обязательно уменьшается с уменьшением отношения шансов.

Р ² _CS от Кокса и Снелла

Р ² _CS — альтернативный индекс согласия, связанный с R ² значение из линейной регрессии. Его дают:

${\begin{aligned}R_{\text{CS}}^{2}&=1-\left({\frac {L_{0}}{L_{M}}}\right)^{2/n}\\[5pt]&=1-\exp \left({\frac {2}{n}}(\ln(L_{0})-\ln(L_{M}))\right)\end{aligned}}$

где L _M и L ₀ — вероятности подгоняемой модели и нулевой модели соответственно. Индекс Кокса и Снелла соответствует стандарту R. ² в случае линейной модели с нормальной ошибкой. В определенных ситуациях Р. ² _CS может быть проблематичным, поскольку его максимальное значение равно $1-L_{0}^{2/n}$. Например, для логистической регрессии верхняя граница равна $R_{\text{CS}}^{2}\leq 0.75$ при симметричном маргинальном распределении событий и далее уменьшается при асимметричном распределении событий.

Р ² _N возле Нагелькерке

Р ² _N , предложенный Нико Нагелькерке в широко цитируемой статье Biometrika, обеспечивает поправку к R Кокса и Снелла. ² так что максимальное значение равно 1. Тем не менее, коэффициенты Кокса и Снелла и отношение правдоподобия R ² демонстрируют большее согласие друг с другом, чем с Nagelkerke R. ² . Конечно, это может быть не так для значений, превышающих 0,75, поскольку индекс Кокса и Снелла ограничен этим значением. Отношение правдоподобия R ² часто предпочтительнее альтернатив, поскольку он наиболее аналогичен R ² в линейной регрессии не зависит от базовой ставки (как Кокса, и Снелла, так и Нагелькерке R ² s увеличивается по мере увеличения доли случаев от 0 до 0,5) и варьируется от 0 до 1.

Р ² _McF от Макфаддена

Псевдо Р ² Макфаддена (иногда называемый отношения правдоподобия ) индексом ) определяется как

$R_{\text{McF}}^{2}=1-{\frac {\ln(L_{M})}{\ln(L_{0})}},$

и предпочтительнее R ² _CS от Эллисон. Два выражения R ² _МакФ и Р. ² _CS тогда связаны соответственно соотношением:

${\begin{matrix}R_{\text{CS}}^{2}=1-\left({\dfrac {1}{L_{0}}}\right)^{\frac {2(R_{\text{McF}}^{2})}{n}}\\[1.5em]R_{\text{McF}}^{2}=-{\dfrac {n}{2}}\cdot {\dfrac {\ln(1-R_{\text{CS}}^{2})}{\ln L_{0}}}\end{matrix}}$

Р ² _Т от Тьюра

Эллисон предпочитает Р ² _T , относительно новая мера, разработанная Тьюром. Его можно рассчитать в два этапа:

1. Для каждого уровня зависимой переменной найдите среднее значение прогнозируемых вероятностей события.
2. Возьмите абсолютное значение разницы между этими средними значениями.

Интерпретация

необходимо сделать несколько предостережений. При интерпретации псевдо- R ² статистика. по которой эти индексы соответствия называются псевдоR Причина , ² заключается в том, что они не представляют собой пропорционального уменьшения ошибки, поскольку R ² в линейной регрессии так и есть. Линейная регрессия предполагает гомоскедастичность , то есть дисперсия ошибок одинакова для всех значений критерия. Логистическая регрессия всегда будет гетероскедастической – дисперсии ошибок различаются для каждого значения прогнозируемой оценки. Для каждого значения прогнозируемой оценки будет свое значение пропорционального уменьшения ошибки. Поэтому неуместно думать о R. ² как пропорциональное уменьшение ошибки в универсальном смысле логистической регрессии.