Разложение Калмана

В теории управления предоставляет разложение Калмана математические средства для преобразования представления любой линейной нестационарной (LTI) системы управления в форму, в которой система может быть разложена в стандартную форму, которая проясняет наблюдаемые и управляемые компоненты системы управления. система. В результате этой декомпозиции система представляется с более наглядной структурой, что упрощает выводы о достижимых и наблюдаемых подпространствах системы.

Определение

Рассмотрим систему управления LTI непрерывного времени.

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$,

$\,y(t)=Cx(t)+Du(t)$,

или система управления LTI с дискретным временем

$\,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$,

$\,y(k)=Cx(k)+Du(k)$.

Разложение Калмана определяется как реализация этой системы, полученная преобразованием исходных матриц следующим образом:

$\,{\hat {A}}=TA{T}^{-1}$,

$\,{\hat {B}}=TB$,

$\,{\hat {C}}=C{T}^{-1}$,

$\,{\hat {D}}=D$,

где $\,T^{-1}$ - матрица преобразования координат, определенная как

$\,T^{-1}={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$,

и чьи подматрицы

• $\,T_{r{\overline {o}}}$ : матрица, столбцы которой охватывают подпространство состояний, которые одновременно достижимы и ненаблюдаемы.
• $\,T_{ro}$ : выбрано так, чтобы столбцы $\,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}$ являются основой достижимого подпространства.
• $\,T_{\overline {ro}}$ : выбрано так, чтобы столбцы $\,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}$ являются основой ненаблюдаемого подпространства.
• $\,T_{{\overline {r}}o}$ : выбрано так, что $\,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$ является обратимым.

Можно заметить, что некоторые из этих матриц могут иметь нулевую размерность. Например, если система одновременно наблюдаема и управляема, то $\,T^{-1}=T_{ro}$, что делает остальные матрицы нулевыми.

Последствия

Используя результаты управляемости и наблюдаемости, можно показать, что преобразованная система $\,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})$ имеет матрицы в следующем виде:

$\,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$

$\,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}$

$\,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}$

$\,{\hat {D}}=D$

Это приводит к выводу, что

• Подсистема $\,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)$ одновременно достижима и наблюдаема.
• Подсистема $\,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)$ достижим.
• Подсистема $\,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)$ является наблюдаемым.

Варианты

Разложение Калмана существует также для линейных динамических квантовых систем . В отличие от классических динамических систем, преобразование координат, используемое в этом варианте, должно принадлежать к определенному классу преобразований в соответствии с физическими законами квантовой механики.

См. также

• Реализация (системы)
• Наблюдаемость
• Управляемость

Внешние ссылки

• Лекции по динамическим системам и управлению, лекция 25 — Мохаммед Далех , Мюнтер Далех , Джордж Вергезе — MIT OpenCourseWare