нестабильность Вейбеля

Неустойчивость Вейбеля — это плазменная неустойчивость, присутствующая в однородной или почти однородной электромагнитной плазме , которая обладает анизотропией в пространстве импульсов (скоростей). Эту анизотропию чаще всего понимают как две температуры в разных направлениях. Бертон Фрид показал, что эту нестабильность проще понимать как суперпозицию множества встречных лучей. В этом смысле это похоже на двухпоточную неустойчивость, за исключением того, что возмущения являются электромагнитными и приводят к филаментации, в отличие от электростатических возмущений, которые могут привести к группировке зарядов. В линейном пределе неустойчивость вызывает экспоненциальный рост электромагнитных полей в плазме, которые помогают восстановить изотропию импульсного пространства. В самых крайних случаях неустойчивость Вейбеля связана с неустойчивостями одно- или двумерного потока .

Рассмотрим электрон-ионную плазму, в которой ионы фиксированы, а электроны в направлении y более горячие, чем в направлении x или z.

Чтобы увидеть, как будут расти возмущения магнитного поля, предположим, что поле B = B cos kx спонтанно возникает из-за шума. Сила Лоренца затем искривляет траектории электронов, в результате чего электроны, движущиеся вверх ev x B, собираются в точке B, а электроны, движущиеся вниз, в точке A. Возникающий в результате ток $j=-env_{e}$ листы генерируют магнитное поле, которое усиливает исходное поле и, таким образом, возмущение растет.

Нестабильность Вейбеля также распространена в астрофизической плазме, например, образование бесстолкновительной ударной волны в остатках сверхновых и $\gamma$-лучевые всплески.

Простой пример нестабильности Вейбеля

В качестве простого примера неустойчивости Вейбеля рассмотрим электронный пучок с плотностью $n_{b0}$ и начальная скорость $v_{0}\mathbf {z}$ распространяющийся в плазме плотности $n_{p0}=n_{b0}$ со скоростью $-v_{0}\mathbf {z}$. Приведенный ниже анализ покажет, как электромагнитное возмущение в форме плоской волны приводит к неустойчивости Вейбеля в этой простой анизотропной плазменной системе. Для простоты мы предполагаем нерелятивистскую плазму.

Мы предполагаем, что фоновое электрическое или магнитное поле отсутствует, т.е. $\mathbf {B_{0}} =\mathbf {E_{0}} =0$. Возмущение будем считать электромагнитной волной, распространяющейся вдоль $\mathbf {\hat {x}}$ то есть $\mathbf {k} =k\mathbf {\hat {x}}$. Предположим, что электрическое поле имеет вид

$\mathbf {E_{1}} =Ae^{i(kx-\omega t)}\mathbf {z}$

Учитывая предполагаемую пространственную и временную зависимость, мы можем использовать ${\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow -i\omega$ и $\nabla \rightarrow ik\mathbf {\hat {x}}$. Из закона Фарадея мы можем получить возмущенное магнитное поле

$\nabla \times \mathbf {E_{1}} =-{\frac {\partial \mathbf {B_{1}} }{\partial t}}\Rightarrow i\mathbf {k} \times \mathbf {E_{1}} =i\omega \mathbf {B_{1}} \Rightarrow \mathbf {B_{1}} =\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{\omega }}E_{1}$

Рассмотрим электронный луч. Мы предполагаем малые возмущения и тем самым линеаризуем скорость $\mathbf {v_{b}} =\mathbf {v_{b0}} +\mathbf {v_{b1}}$ и плотность $n_{b}=n_{b0}+n_{b1}$. Цель состоит в том, чтобы найти плотность тока возмущенного электронного пучка.

$\mathbf {J_{b1}} =-en_{b}\mathbf {v_{b}} =-en_{b0}\mathbf {v_{b1}} -en_{b1}\mathbf {v_{b0}}$

где членами второго порядка пренебрегли. Для этого мы начнем с уравнения импульса жидкости для электронного пучка

$m({\frac {\partial \mathbf {v_{b}} }{\partial t}}+(\mathbf {v_{b}} \cdot \nabla )\mathbf {v_{b}} )=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v_{b}} \times \mathbf {B}$

которое можно упростить, заметив, что ${\frac {\partial \mathbf {v_{b0}} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {v_{b0}} =0$ и пренебрежение членами второго порядка. С учетом предположения о плоской волне для производных уравнение количества движения принимает вид

$-i\omega m\mathbf {v_{b1}} =-e\mathbf {E_{1}} -e\mathbf {v_{b0}} \times \mathbf {B_{1}}$

Мы можем разложить приведенные выше уравнения на компоненты, обращая внимание на векторное произведение в крайнем правом углу, и получить ненулевые компоненты возмущения скорости луча:

$v_{b1z}={\frac {eE_{1}}{mi\omega }}$

$v_{b1x}={\frac {eE_{1}}{mi\omega }}{\frac {kv_{b0}}{\omega }}$

Чтобы найти плотность возмущений $n_{b1}$, мы используем уравнение неразрывности жидкости для электронного пучка

${\frac {\partial n_{b}}{\partial t}}+\nabla \cdot (n_{b}\mathbf {v_{b}} )=0$

которое можно еще раз упростить, заметив, что ${\frac {\partial n_{b0}}{\partial t}}=\nabla n_{b0}=0$ и пренебрежение членами второго порядка. Результат

$n_{b1}=n_{b0}{\frac {k}{\omega }}v_{b1x}$

Используя эти результаты, мы можем использовать приведенное выше уравнение для плотности тока возмущения пучка, чтобы найти

$J_{b1x}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {kv_{b0}}{im\omega ^{2}}}$

$J_{b1z}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {1}{im\omega }}(1+{\frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{\omega ^{2}}})$

Аналогичные выражения можно записать и для плотности тока возмущения леводвижущейся плазмы. Заметив, что x-компонента плотности тока возмущения пропорциональна $v_{0}$, мы видим, что при наших предположениях о невозмущенных плотностях и скоростях пучка и плазмы x-компонента чистой плотности тока будет исчезать, тогда как z-компоненты, которые пропорциональны $v_{0}^{2}$, добавлю. Таким образом, чистое возмущение плотности тока равно

$\mathbf {J_{1}} =-2n_{b0}e^{2}E_{1}{\frac {1}{im\omega }}(1+{\frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{\omega ^{2}}})\mathbf {\hat {z}}$

Дисперсионное соотношение теперь можно найти из уравнений Максвелла:

$\nabla \times \mathbf {E_{1}} =i\omega \mathbf {B_{1}}$

$\nabla \times \mathbf {B_{1}} =\mu _{0}\mathbf {J_{1}} -i\omega \epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E_{1}}$

$\Rightarrow \nabla \times \nabla \times \mathbf {E_{1}} =-\nabla ^{2}\mathbf {E_{1}} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E_{1}} )=k^{2}\mathbf {E_{1}} +i\mathbf {k} (i\mathbf {k} \cdot \mathbf {E_{1}} )=k^{2}\mathbf {E_{1}} =i\omega \nabla \times \mathbf {B_{1}} ={\frac {i\omega }{c^{2}\epsilon _{0}}}\mathbf {J_{1}} +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\mathbf {E_{1}}$

где $c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$ это скорость света в свободном пространстве. Определив эффективную плазменную частоту $\omega _{p}^{2}={\frac {2n_{b0}e^{2}}{\epsilon _{0}m}}$, уравнение выше приводит к

$k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {\omega _{p}^{2}}{c^{2}}}(1+{\frac {k^{2}v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}})\Rightarrow \omega ^{4}-\omega ^{2}(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})-\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}=0$

Это биквадратное уравнение можно легко решить, чтобы получить дисперсионное соотношение

$\omega ^{2}={\frac {1}{2}}(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}\pm {\sqrt {(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}})$

В поисках нестабильностей мы ищем $Im(\omega )\neq 0$ ( $k$ считается реальным). Поэтому мы должны взять дисперсионное соотношение/режим, соответствующее знаку минус в приведенном выше уравнении.

Чтобы получить более глубокое понимание нестабильности, полезно использовать наше нерелятивистское предположение. $v_{0}<<c$ чтобы упростить термин квадратного корня, отметив, что

${\sqrt {(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}}=(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {4\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})^{1/2}\approx (\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{\frac {2\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})$

Тогда полученное дисперсионное соотношение будет намного проще.

$\omega ^{2}={\frac {-\omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}}}<0$

$\omega$ является чисто воображаемым. Письмо $\omega =i\gamma$

$\gamma ={\frac {\omega _{p}kv_{0}}{(\omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{1/2}}}=\omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}{\frac {1}{(1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{k^{2}c^{2}}})^{1/2}}}$

мы видим это $Im(\omega )>0$, что действительно соответствует нестабильности.

Электромагнитные поля тогда имеют вид

$\mathbf {E_{1}} =A\mathbf {\hat {z}} e^{\gamma t}e^{ikx}$

$\mathbf {B_{1}} =\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{\omega }}E_{1}=\mathbf {\hat {y}} {\frac {k}{i\gamma }}Ae^{\gamma t}e^{ikx}$

Следовательно, электрическое и магнитное поля $90^{o}$ в противофазе и, отметив, что

${\frac {|B_{1}|}{|E_{1}|}}={\frac {k}{\gamma }}\propto {\frac {c}{v_{0}}}>>1$

Итак, мы видим, что это преимущественно магнитное возмущение, хотя существует и ненулевое электрическое возмущение. Рост магнитного поля приводит к возникновению характерной филаментационной структуры неустойчивости Вейбеля. Насыщение наступит тогда, когда темпы роста $\gamma$ имеет порядок электронной циклотронной частоты

$\gamma \sim \omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}\sim \omega _{c}\Rightarrow B\sim {\frac {m}{e}}\omega _{p}{\frac {v_{0}}{c}}$

Ссылки

• Вайбель, Эрих С. ​​(1 февраля 1959 г.). «Спонтанно растущие поперечные волны в плазме из-за анизотропного распределения скорости». Письма о физических отзывах . 2 (3). Американское физическое общество (APS): 83–84. Бибкод : 1959PhRvL...2...83W . дои : 10.1103/physrevlett.2.83 . ISSN   0031-9007 .
• Фрид, Бертон Д. (1959). «Механизм нестабильности поперечных плазменных волн». Физика жидкостей . 2 (3). Издательство AIP: 337. Бибкод : 1959PhFl....2..337F . дои : 10.1063/1.1705933 . ISSN   0031-9171 .
• Лекция [1]

См. также

• Хромо-Вейбелевская нестабильность