Теорема Брауэра – Несбитта

В математике теорема Брауэра-Несбитта может относиться к нескольким различным теоремам, доказанным Ричардом Брауэром и Сесилом Дж. Несбиттом в теории представлений конечных групп .

В теории представлений модульной Теорема Брауэра –Несбитта о блоках с нулевым дефектом утверждает, что характер, порядок которого делится на высшую степень простого числа p, делящего порядок конечной группы, остается неприводимым при уменьшении по модулю p и исчезает на всех элементах, порядок которых делится на p. . Более того, он принадлежит блоку с нулевым дефектом . Блок нулевого дефекта содержит только один обычный символ и только один модульный символ .

Другая версия гласит, что если k — поле нулевой характеристики, A — k -алгебра, V , W — полупростые A -модули, конечномерные над k , и Tr _V = Tr _W как элементы Hom _k ( A ,k ), то V и W изоморфны как A -модули.

Позволять $G$ быть группой и $E$ быть каким-то полем. Если $\rho _{i}:G\to GL_{n}(E),i=1,2$ — это два конечномерных полупростых представления, такие, что характеристические многочлены $\rho _{1}(g)$ и $\rho _{2}(g)$ совпадают для всех $g\in G$, затем $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ являются изоморфными представлениями. Если $char(E)=0$ или $char(E)>n$, то условие на характеристические многочлены можно заменить на условие, что Tr $\rho _{1}(g)$=Тр $\rho _{2}(g)$ для всех $g\in G$.

Как следствие, пусть $\rho :Gal(K^{\rm {sep}}/K)\to GL_{n}({\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$ быть полупростым (непрерывным) $l$-адические представления абсолютной группы Галуа некоторого поля $K$, неразветвленный вне некоторого конечного множества простых чисел $S\subset M_{K}$. Тогда представление однозначно определяется значениями следов $\rho (Frob_{p})$ для $p\in M_{K}^{0}-S$ (также используя теорему плотности Чеботарева).

Ссылки

• Кертис, Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , Wiley 1962.
• Брауэр, Р.; Несбитт, К. О модулярных характерах групп. Энн. математики. (2) 42, (1941). 556-590.