Матричный метод линии передачи

Метод матрицы линий передачи (TLM) представляет собой метод дискретизации пространства и времени для расчета электромагнитных полей . Он основан на аналогии между электромагнитным полем и сетью линий передачи . Метод TLM позволяет рассчитывать сложные трехмерные электромагнитные структуры и оказался одним из самых мощных методов во временной области наряду с методом конечных разностей во временной области ( FDTD ). TLM был впервые исследован Раймондом Бёрлом во время работы в компании English Electric Valve Company в Челмсфорде . После того, как он был назначен профессором электротехники в Ноттингемском университете написал статью «Численное решение двумерных задач рассеяния с использованием матрицы линии передачи» . в 1963 году, он совместно с Питером Б. Джонсом в 1971 году

Основной принцип

Пример 2D TLM: падающий импульс напряжения в двух последовательных событиях рассеяния.

Метод TLM основан на модели Гюйгенса о распространении и рассеянии волн и аналогии между распространением поля и линиями передачи. Таким образом, он рассматривает вычислительную область как сеть линий передачи, соединенных между собой в узлах. На рисунке справа рассмотрен простой пример 2D TLM-сетки с импульсом напряжения амплитудой 1 В, падающим на центральный узел. Этот импульс будет частично отражен и передан в соответствии с теорией линии передачи. Если предположить, что каждая линия имеет характеристическое сопротивление $Z$, то падающий импульс эффективно видит три линии передачи параллельно с общим сопротивлением $Z/3$. Коэффициент отражения и коэффициент прохождения определяются выражениями

$R={\frac {Z/3-Z}{Z/3+Z}}=-0.5$

$T={\frac {2(Z/3)}{Z/3+Z}}=0.5$

Энергия, инжектируемая в узел падающим импульсом, и полная энергия рассеянных импульсов соответственно равны

$E_{I}=vi\,\Delta t=1\left(1/Z\right)\Delta t=\Delta t/Z$

$E_{S}=\left[0.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+(-0.5)^{2}\right](\Delta t/Z)=\Delta t/Z$

Следовательно, закон сохранения энергии в модели выполняется .

Следующее событие рассеяния возбуждает соседние узлы по описанному выше принципу. Видно, что каждый узел превращается во вторичный источник сферической волны. Эти волны объединяются, образуя общую форму волны. Это соответствует принципу распространения света Гюйгенса.

Чтобы показать схему TLM, мы будем использовать дискретизацию времени и пространства. Шаг по времени будет обозначаться $\Delta t$ и интервалы дискретизации пространства с $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$. Таким образом, абсолютное время и пространство будут $t=k\,\Delta t$, $x=l\,\Delta x$, $y=m\,\Delta y$, $z=n\,\Delta z$, где $k=0,1,2,\ldots$ это момент времени и $m,n,l$ — координаты ячейки. В случае $\Delta x=\Delta y=\Delta z$ ценность $\Delta l$ будет использована постоянная решетки . В этом случае имеет место следующее:

$\Delta t={\frac {\Delta l}{c_{0}}},$

где $c_{0}$ это скорость света в свободном пространстве.

Узел 2D TLM

Матрица рассеяния узла 2D TLM

Узел TLM серии 2D

Если мы рассмотрим распределение электромагнитного поля, в котором единственными ненулевыми компонентами являются $E_{x}$, $E_{y}$ и $H_{z}$ (т.е. распределение TE-моды), то уравнения Максвелла в декартовых координатах сводятся к

${\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}$

$-{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}$

${\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {y}}}=-\mu {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {t}}}$

Мы можем объединить эти уравнения, чтобы получить

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {y}^{2}}}=\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {t}^{2}}}$

На рисунке справа представлена ​​структура, называемая узлом серии . Описывает блок пространственных измерений $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$ который состоит из четырех портов. $L'$ и $C'$ – распределенные индуктивность и емкость линий передачи. Можно показать, что последовательный узел эквивалентен TE-волне, точнее, ток сетки I , напряжения в направлении x (порты 1 и 3) и напряжения в направлении y (порты 2 и 4) могут быть связаны. к полевым компонентам $H_{z}$, $E_{x}$ и $E_{y}$. Если учитывать напряжения на портах, $L_{x}=L_{y}$, и полярность, показанная на рисунке выше, соблюдена, то справедливо следующее

$-V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}$

где $\Delta x=\Delta y=\Delta l$.

$\left(V_{3}-V_{1}\right)-\left(V_{4}-V_{2}\right)=2L'\,\Delta l{\frac {\partial I}{\partial t}}$

$\left[E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)\right]\,\Delta x-[E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)]\Delta y=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}$

и разделив обе части на $\Delta x\Delta y$

${\frac {E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)}{\Delta y}}-{\frac {E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)}{\Delta x}}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}{\frac {1}{\Delta x\,\Delta y}}$

С $\Delta x=\Delta y=\Delta z=\Delta l$ и замена $I=H_{z}\,\Delta z$ дает

${\frac {\Delta E_{x}}{\Delta y}}-{\frac {\Delta E_{y}}{\Delta x}}=2L'{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

Это сводится к уравнениям Максвелла, когда $\Delta l\rightarrow 0$.

Аналогичным образом, используя условия на конденсаторах портов 1 и 4, можно показать, что соответствующие два других уравнения Максвелла имеют следующий вид:

${\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {y}}}=C'{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}$

$-{\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {x}}}=C'{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}$

Имея эти результаты, можно вычислить матрицу рассеяния шунтирующего узла. Импульс напряжения, падающий на порт 1 на временном шаге k, обозначается как $_{k}V_{1}^{i}$. Заменив четыре сегмента линии на рисунке выше их эквивалентом Тевенена, можно показать, что выполняется следующее уравнение для отраженного импульса напряжения:

$_{k}V_{1}^{r}=0.5\left(_{k}V_{1}^{i}+_{k}V_{2}^{i}+_{k}V_{3}^{i}-_{k}V_{4}^{i}\right)$

Если все падающие волны, а также все отраженные волны собрать в один вектор, то это уравнение для всех портов можно записать в матричной форме:

$_{k}\mathbf {V} ^{r}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {V} ^{i}$

где $_{k}\mathbf {V} ^{i}$ и $_{k}\mathbf {V} ^{r}$ – векторы амплитуд падающего и отраженного импульсов.

Для последовательного узла матрица рассеяния S имеет следующий вид

$\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{array}}\right]$

Соединение между узлами TLM

Узел TLM серии 2D

Чтобы описать связь между соседними узлами сеткой узлов ряда, посмотрите на рисунок справа. Поскольку падающий импульс на временном шаге k+1 в узле является рассеянным импульсом от соседнего узла на временном шаге k , выводятся следующие уравнения связи:

$_{k+1}V_{1}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{3}^{r}(x,y-1)$

$_{k+1}V_{2}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{4}^{r}(x-1,y)$

$_{k+1}V_{3}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{1}^{r}(x,y+1)$

$_{k+1}V_{4}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{2}^{r}(x+1,y)$

Модифицируя матрицу рассеяния ${\textbf {S}}$ можно моделировать неоднородные материалы и материалы с потерями. Путем корректировки уравнений связи можно моделировать различные границы.

Шунтирующий узел ТЛМ

Помимо последовательного узла, описанного выше, существует также шунтирующий узел TLM , который представляет собой распределение поля в режиме TM. Единственными ненулевыми компонентами такой волны являются $H_{x}$, $H_{y}$, и $E_{z}$. Используя те же соображения, что и для последовательного узла, можно получить матрицу рассеяния шунтирующего узла.

3D TLM models

3D-симметричный сжатый узел

Для большинства задач электромагнетизма требуется трехмерная сетка. Поскольку теперь у нас есть структуры, описывающие распределения TE и TM-полей, интуитивно кажется возможным определить комбинацию шунтирующих и последовательных узлов, обеспечивающую полное описание электромагнитного поля. Такие попытки предпринимались, но из-за сложности получаемых структур они оказались малополезными. Использование аналогии, представленной выше, приводит к расчету различных компонент поля в физически разделенных точках. Это вызывает трудности в обеспечении простых и эффективных определений границ. Решение этих проблем было предложено Джонсом в 1987 году, когда он предложил структуру, известную как симметричный конденсированный узел (SCN), представленную на рисунке справа. Он состоит из 12 портов, поскольку каждой из 6 сторон ячейки сетки необходимо назначить две поляризации поля.

Топологию SCN невозможно проанализировать с помощью эквивалентных схем Тевенина. Следует использовать более общие принципы сохранения энергии и заряда.

Электрические и магнитные поля по сторонам узла СКС с номером (l,m,n) в момент времени k можно суммировать в 12-мерные векторы

$_{k}\mathbf {E} _{l,m,n}=_{k}\left[E_{1},E_{2},\ldots ,E_{11},E_{12}\right]_{l,m,n}^{T}$

$_{k}\mathbf {H} _{l,m,n}=_{k}\left[H_{1},H_{2},\ldots ,H_{11},H_{12}\right]_{l,m,n}^{T}$

Их можно связать с векторами падающих и рассеянных амплитуд через

$_{k}\mathbf {a} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}+{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}$

$_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}}}{_{k}\mathbf {E} }_{l,m,n}-{\frac {\sqrt {Z_{F}}}{2}}{_{k}\mathbf {H} }_{l,m,n}$

где $Z_{F}={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$ сопротивление поля, $_{k}\mathbf {a} _{l,m,n}$ – вектор амплитуд падающих на узел волн, а $_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}$ – вектор рассеянных амплитуд. Связь между падающей и рассеянной волнами определяется матричным уравнением

$_{k}\mathbf {b} _{l,m,n}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}$

Матрицу рассеяния S можно вычислить. Для симметричного конденсированного узла с портами, определенными, как на рисунке, получен следующий результат.

$\mathbf {S} =\left[{\begin{array}{ccc}0&\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}\\\mathbf {S} _{0}^{T}&0&\mathbf {S} _{0}\\\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{T}&0\end{array}}\right]$

где использовалась следующая матрица

$\mathbf {S} _{0}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{cccc}0&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&1&0&0\\1&1&0&0\end{array}}\right]$

Соединение между различными SCN осуществляется так же, как и для 2D-узлов.

Реализация 3D-TLM с открытым исходным кодом

Институт исследований электромагнетизма Джорджа Грина (GGIEMR) открыл исходный код эффективной реализации 3D-TLM, способной выполнять параллельные вычисления с помощью MPI под названием GGITLM и доступной в Интернете.

Ссылки

• К. Христопулос, Метод моделирования линий электропередачи: TLM , Пискатауэй, Нью-Йорк, IEEE Press, 1995. ISBN   978-0-19-856533-8
• Рассер П., Электромагнетизм, микроволновые схемы и конструкция антенн для техники связи, второе издание, Artec House, Бостон, 2006 г., ISBN   978-1-58053-907-4
• ПБ Джонс и МО'Брайен. «Использование метода моделирования линий передачи (tlm) для решения нелинейных сетей с сосредоточенными параметрами», Радиоэлектрон и инженер. 1980.
• Дж. Л. Херринг, «Развитие метода моделирования линий электропередачи для исследований электромагнитной совместимости», докторская диссертация , Ноттингемский университет, 1993.
• Мансур Ахмадиан, Матричное моделирование линий передачи (TLM) медицинского ультразвука, докторская диссертация , Эдинбургский университет, 2001 г.