Условия Инада

Функция типа Кобба-Дугласа удовлетворяет условиям Инады, когда используется в качестве функции полезности или производственной функции.

В макроэкономике условия Инада , названные в честь японского экономиста Кен-Ичи Инада , ^[1] Это предположения о форме функции, обычно применяемые к производственной функции или функции полезности . Когда производственная функция неоклассической модели роста удовлетворяет условиям Инада, это гарантирует стабильность траектории экономического роста . Условия как таковые были предложены Хирофуми Удзавой . ^[2]

Заявление

Дана непрерывно дифференцируемая функция $f\colon X\to Y$ , где $X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right\}$ и $Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} _{+}\right\}$ , условия такие:

значение функции $f(\mathbf {x} )$ в $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ равно 0: $f(\mathbf {0} )=0$
функция вогнута $X$ , т.е. матрица Гессе $\mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)$ должно быть отрицательно-полуопределенным . ^[3] С экономической точки зрения это означает, что предельная отдача от вводимых ресурсов $x_{i}$ положительны, т.е. $\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}>0$ , но убывающая, т.е. $\partial ^{2}f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}^{2}<0$
предел поскольку первой производной равен положительной бесконечности, $x_{i}$ приближается к 0: $\lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=+\infty$ , что означает, что эффект первой единицы ввода $x_{i}$ имеет наибольший эффект
предел поскольку первой производной равен нулю, $x_{i}$ приближается к положительной бесконечности: $\lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=0$ , что означает, что эффект одной дополнительной единицы ввода $x_{i}$ равен 0 при приближении к использованию бесконечных единиц $x_{i}$

Последствия

Эластичность замещения товаров определяется для производственной функции. $f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ как $\sigma _{ij}={\frac {\partial \log(x_{i}/x_{j})}{\partial \log MRTS_{ji}}}$ , где $MRTS_{ji}({\bar {z}})={\frac {\partial f({\bar {z}})/\partial z_{j}}{\partial f({\bar {z}})/\partial z_{i}}}$ — предельная норма технического замещения .Можно показать, что условия Инады подразумевают, что эластичность замещения между компонентами асимптотически равна единице (хотя производственная функция не обязательно асимптотически является Коббом – Дугласом , обычной производственной функцией, для которой выполняется это условие). ^[4]^[5]

В стохастической неоклассической модели роста , если производственная функция не удовлетворяет условию Инады при нуле, любой возможный путь сходится к нулю с вероятностью единица при условии, что шоки достаточно волатильны. ^[6]

Ссылки

^ Инада, Кен-Ичи (1963). «О двухсекторной модели экономического роста: комментарии и обобщения». Обзор экономических исследований . 30 (2): 119–127. дои : 10.2307/2295809 . JSTOR 2295809 .
^ Удзава, Х. (1963). «О двухсекторной модели экономического роста II». Обзор экономических исследований . 30 (2): 105–118. дои : 10.2307/2295808 . JSTOR 2295808 .
^ Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 125–126 . ISBN 0-521-31498-4 .
^ Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инада предполагают, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа». Письма по экономике . 81 (3): 361–363. дои : 10.1016/S0165-1765(03)00218-0 . hdl : 10438/1012 .
^ Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа? Комментарий». Письма по экономике . 99 (3): 498–499. doi : 10.1016/j.econlet.2007.09.035 .
^ Камихигаши, Такаши (2006). «Почти уверенная сходимость к нулю в моделях стохастического роста» (PDF) . Экономическая теория . 29 (1): 231–237. дои : 10.1007/s00199-005-0006-1 . S2CID 30466341 .

Дальнейшее чтение

Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). Экономический рост (второе изд.). Лондон: MIT Press. стр. 26–30. ISBN 0-262-02553-1 .
Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 176–178. ISBN 3-540-60988-1 .
Ромер, Дэвид (2011). «Модель роста Солоу». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5 .

[1] Инада, Кен-Ичи (1963). «О двухсекторной модели экономического роста: комментарии и обобщения». Обзор экономических исследований . 30 (2): 119–127. дои : 10.2307/2295809 . JSTOR 2295809 .

[2] Удзава, Х. (1963). «О двухсекторной модели экономического роста II». Обзор экономических исследований . 30 (2): 105–118. дои : 10.2307/2295808 . JSTOR 2295808 .

[3] Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 125–126 . ISBN 0-521-31498-4 .

[4] Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инада предполагают, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа». Письма по экономике . 81 (3): 361–363. дои : 10.1016/S0165-1765(03)00218-0 . hdl : 10438/1012 .

[5] Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа? Комментарий». Письма по экономике . 99 (3): 498–499. doi : 10.1016/j.econlet.2007.09.035 .

[6] Камихигаши, Такаши (2006). «Почти уверенная сходимость к нулю в моделях стохастического роста» (PDF) . Экономическая теория . 29 (1): 231–237. дои : 10.1007/s00199-005-0006-1 . S2CID 30466341 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]