Эластичность замещения

Эластичность замещения — это соотношение процентного изменения капиталоемкости с процентным изменением предельной нормы технического замещения. ^[1] На конкурентном рынке он измеряет процентное изменение двух используемых ресурсов в ответ на процентное изменение их цен. ^[2] Он дает меру кривизны изокванты и , таким образом, взаимозаменяемости ресурсов (или товаров), т.е. насколько легко заменить один ресурс (или товар) другим. ^[3]

История концепции

Джон Хикс представил эту концепцию в 1932 году. Джоан Робинсон независимо открыла ее в 1933 году, используя математическую формулировку, эквивалентную формулировке Хикса, хотя в то время она не была реализована. ^[4]

Определение

Общее определение эластичности X по Y: $E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{change in X}}}{\%\ {\mbox{change in Y}}}}$ , что сводится к $E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}$ для бесконечно малых изменений и дифференцируемых переменных. Эластичность замещения — это изменение соотношения использования двух товаров по отношению к соотношению их предельных ценностей или цен. Наиболее распространенное применение - это соотношение используемого капитала (K) и труда (L) по отношению к соотношению их предельных продуктов. $MP_{K}$ и $MP_{L}$ или цены аренды (r) и заработной платы (w). Другое применение — это соотношение потребительских товаров 1 и 2 относительно соотношения их предельных полезностей или их цен. Начнем с приложения потребления.

Пусть полезность по сравнению с потреблением определяется выражением $U(c_{1},c_{2})$ и пусть $U_{c_{i}}=\partial U(c_{1},c_{2})/\partial {c_{i}}$ . Тогда эластичность замещения равна:

E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}

где $MRS$ – предельная норма замещения . (Эти дифференциалы берутся вдоль изокванты, проходящей через базовую точку. То есть входные данные $c_{1}$ и $c_{2}$ не изменяются независимо, вместо этого один входной сигнал изменяется свободно, в то время как другой входной сигнал ограничен положением изокванты, проходящей через базовую точку. Из-за этого ограничения MRS и соотношение входов являются взаимно однозначными функциями друг друга при подходящих предположениях выпуклости.) Последнее равенство представляет собой $MRS_{12}=p_{1}/p_{2}$ , где $p_{1},p_{2}$ - это цены товаров 1 и 2. Это соотношение из условия первого порядка для задачи максимизации потребительской полезности во внутреннем равновесии Эрроу – Дебре, где предельные полезности двух товаров пропорциональны ценам. Интуитивно мы наблюдаем, как меняется выбор потребителя в отношении предметов потребления по мере изменения их относительных цен.

Обратите внимание также, что $E_{21}=E_{12}$ :

E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}

Эквивалентная характеристика эластичности замещения: ^[5]

E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}

В дискретных моделях эластичность замещения потребления по периодам $t$ и $t+1$ известна как эластичность межвременного замещения .

Аналогично, если производственная функция $f(x_{1},x_{2})$ тогда эластичность замещения равна:

\sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}

где $MRTS$ – предельная норма технического замещения .

Обратная эластичность замещения – это эластичность комплементарности .

Пример

Рассмотрим производственную функцию Кобба – Дугласа. $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}$ .

Предельная норма технического замещения равна

MRTS_{21}={\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}

Обозначения удобно менять. Обозначим

{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\theta

Переписав это, мы имеем

{\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {a}{1-a}}\theta

Тогда эластичность замещения равна ^[6]

\sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(MRTS_{21})}}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {\theta }{d\theta }}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{d\theta }}{\frac {\theta }{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}={\frac {a}{1-a}}{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=1

Экономическая интерпретация

При условии исходного распределения/комбинации и конкретного замещения при распределении/комбинировании исходного, чем больше величина эластичности замещения (предельная норма эластичности замещения относительного распределения), тем выше вероятность замены. На рынке всегда есть две стороны; здесь мы говорим о получателе, поскольку эластичность предпочтения соответствует эластичности предпочтения получателя.

Эластичность замещения также определяет, как изменяются относительные расходы на товары или факторы производства при изменении относительных цен. Позволять $S_{21}$ обозначают расходы на $c_{2}$ относительно этого на $c_{1}$ . То есть:

S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}

Поскольку относительная цена $p_{2}/p_{1}$ изменения, относительные расходы изменяются в зависимости от:

{\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)

Таким образом, независимо от того, увеличится ли относительная цена $c_{2}$ приводит к увеличению или уменьшению относительных расходов на $c_{2}$ зависит от того, будет ли эластичность замещения меньше или больше единицы.

Интуитивно понятно, что прямой эффект повышения относительной цены на $c_{2}$ заключается в увеличении расходов на $c_{2}$ , поскольку данное количество $c_{2}$ является более затратным. С другой стороны, если предположить, что рассматриваемые товары не являются товарами Гиффена , рост относительной цены на $c_{2}$ приводит к падению относительного спроса на $c_{2}$ , так что количество $c_{2}$ покупаемые падения, что снижает расходы на $c_{2}$ .

Какой из этих эффектов доминирует, зависит от величины эластичности замещения. Когда эластичность замещения меньше единицы, преобладает первый эффект: относительный спрос на $c_{2}$ падает, но пропорционально меньше, чем рост его относительной цены, так что относительные расходы возрастают. В этом случае товары представляют собой валовые дополнения .

И наоборот, когда эластичность замещения больше единицы, доминирует второй эффект: сокращение относительного количества превышает увеличение относительной цены, так что относительные расходы на $c_{2}$ падает. В этом случае товары являются валовыми заменителями .

Обратите внимание: когда эластичность замещения равна единице (как в случае Кобба–Дугласа), расходы на $c_{2}$ относительно $c_{1}$ не зависит от относительных цен.

См. также

Примечания

^ Сидсетер, Кнут ; Хаммонд, Питер (1995). Математика для экономического анализа . Прентис Холл. стр. 561–562.
^ Бергстром, Тед (2015). Конспект лекций по эластичности замещения , с. 5. Просмотрено 17 июня 2016 г.
^ де Ла Гранвиль, Оливье (1997). «Кривизна и эластичность замещения: выпрямление». Журнал экономики . 66 (1): 23–34. дои : 10.1007/BF01231465 . S2CID 154023144 .
^ Чиринко, Роберт (2006). Сигма: все вкратце . Журнал макроэкономики. 2: 671-86.
^ Учитывая, что:
$\ {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}=d\log(x_{2}/x_{1})=d\log x_{2}-d\log x_{1}=-(d\log x_{1}-d\log x_{2})=-d\log(x_{1}/x_{2})=-{\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}$
эквивалентный способ определения эластичности замещения:
$\ \sigma =-{\frac {d(c_{1}/c_{2})}{dMRS}}{\frac {MRS}{c_{1}/c_{2}}}=-{\frac {d\log(c_{1}/c_{2})}{d\log MRS}}$ .
^ «Эластичность замещения» . 11 июля 2019 г.

Ссылки

Хикс, младший (1932). Теория заработной платы . Макмиллан.
Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон; Грин (2007). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195073409 .
Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). WW Нортон и компания . ISBN 978-0-393-95735-8 .
Кламп, Райнер; МакАдам, Питер; Уиллман, Альпо (2007). «Замещение факторов и технический прогресс, увеличивающий факторы, в Соединенных Штатах: нормализованный системный подход со стороны предложения». Обзор экономики и статистики . 89 (1): 183–192. дои : 10.1162/rest.89.1.183 . S2CID 57570638 .

Внешние ссылки

Эластичность замещения , Гонсало Л. Фонсекча, эссе, Новая школа социальных исследований .

[sydsaeter-1] Сидсетер, Кнут ; Хаммонд, Питер (1995). Математика для экономического анализа . Прентис Холл. стр. 561–562.

[bergstrom-2] Бергстром, Тед (2015). Конспект лекций по эластичности замещения , с. 5. Просмотрено 17 июня 2016 г.

[grandville-3] де Ла Гранвиль, Оливье (1997). «Кривизна и эластичность замещения: выпрямление». Журнал экономики . 66 (1): 23–34. дои : 10.1007/BF01231465 . S2CID 154023144 .

[chirinko-4] Чиринко, Роберт (2006). Сигма: все вкратце . Журнал макроэкономики. 2: 671-86.

[5] Учитывая, что:
$\ {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}=d\log(x_{2}/x_{1})=d\log x_{2}-d\log x_{1}=-(d\log x_{1}-d\log x_{2})=-d\log(x_{1}/x_{2})=-{\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}$
эквивалентный способ определения эластичности замещения:
$\ \sigma =-{\frac {d(c_{1}/c_{2})}{dMRS}}{\frac {MRS}{c_{1}/c_{2}}}=-{\frac {d\log(c_{1}/c_{2})}{d\log MRS}}$ .

[6] «Эластичность замещения» . 11 июля 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]