Эластичность межвременного замещения

В экономике ( эластичность межвременного замещения или межвременная эластичность замещения, EIS, IES является мерой реагирования темпов роста потребления ) на реальную процентную ставку . Если реальная процентная ставка повысится, текущее потребление может снизиться из-за увеличения прибыли от сбережений; но текущее потребление может также увеличиться, поскольку домохозяйство решает немедленно увеличить потребление, поскольку оно чувствует себя богаче. Чистым эффектом на текущее потребление является эластичность межвременного замещения.

Математическое определение

В целом существует два способа определения EIS. Первый способ — абстрактно определить ее как функцию, производную от функции полезности, а затем интерпретировать ее как эластичность. Второй способ — явно вывести его как эластичность . Оба способа обычно дают одно и то же определение.

Абстрактное определение

Учитывая функцию полезности $u(c)$, где $c$ обозначает уровень потребления, EIS определяется как $$\sigma (c)=-{\frac {u'(c)}{cu''(c)}}$$Обратите внимание, что это определение является обратным относительному неприятию риска .

Мы можем определить семейство функций полезности, которые можно понимать как обратную полезность CRRA: $$u_{\sigma }(c)={\begin{cases}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}(c^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-1){\text{ if }}\sigma \neq 1\\\ln c\quad {\text{if }}\sigma =1\end{cases}}$$

Постоянные кривые полезности EIS для $\sigma \in \{-1,0.1,1,10\}$.

Для каждого $\sigma \neq 0$, функция полезности $u_{\sigma }$ это стоило ему $\sigma$. В обычных экономических приложениях существует ограничение $\sigma >0$, поскольку предполагается, что агенты не любят риск.

На схеме это можно увидеть как $\sigma \to \infty$, кривая полезности становится более линейной, что указывает на то, что агент не пытается сгладить потребление с течением времени, подобно тому, как нейтральный к риску агент не предпочитает азартные игры с более гладкими результатами.

Производное определение

Вывод различается для дискретного и непрерывного времени. Мы увидим, что для полезности CRRA оба подхода дают один и тот же ответ. Приведенные ниже функциональные формы предполагают, что полезность и потребление аддитивно отделимы во времени.

Дискретное время

Общая полезность в течение всего срока службы определяется выражением

$U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})$

В этом случае валовая реальная процентная ставка $R$ будет задано следующим условием:

$Qu'(c_{t})=Q\beta Ru'(c_{t+1})$

Количество денег $Q$ вложенные сегодня затраты $Qu'(c_{t})$ единиц полезности и, следовательно, должен принести именно такое количество единиц полезности в будущем, если сбережения будут осуществляться по преобладающей валовой процентной ставке. $R=1+r$, где $r$ — это чистая процентная ставка (если бы она приносила больше, то агент мог бы улучшить свое благосостояние, сэкономив больше).

Решая валовую процентную ставку, мы видим, что

$R={\frac {u'(c_{t})}{\beta u'(c_{t+1})}}$

В логах у нас есть

$\ln(R)=\ln(1+r)=-\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }$

С $\ln(1+r)\approx r$ для маленьких $r$ (логи очень близки к процентным изменениям) у нас есть

$r\approx -\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }$

Эластичность межвременного замещения определяется как процентное изменение роста потребления на процент увеличения чистой процентной ставки:

${\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{dr}}$

Подставив в приведенное выше логарифмическое уравнение, мы увидим, что это определение эквивалентно эластичности роста потребления по отношению к росту предельной полезности :

$-{\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{d\ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}$

Однако любое определение верно, если предположить, что агент оптимизирует и имеет разделенную во времени полезность.

Пример

Пусть полезность потребления за период $t$ быть предоставлено

$u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}.$

Поскольку эта функция полезности принадлежит к семейству функций полезности CRRA, мы имеем $u'(c_{t})=c_{t}^{-\sigma }.$ Таким образом,

$\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]=-\sigma \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right].$

Это можно переписать как

$\ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]$

Следовательно, применяя полученную выше формулу

$-{\frac {\partial \ln(c_{t+1}/c_{t})}{\partial \ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.$

Непрерывное время

Пусть общая полезность в течение всего срока службы определяется выражением

$U=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})dt$

где $c_{t}$ это сокращение от $c(t)$, $u(c(t))$ - полезность потребления в (мгновенный) момент времени t, и $\rho$ – это ставка дисконтирования времени. Сначала определите меру относительного неприятия риска (это полезно, даже если в модели нет неопределенности или риска):

$RRA=-{\frac {d(u'(c_{t}))}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u''(c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}$

тогда эластичность межвременного замещения определяется как

$EIS=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial ({\dot {u}}'(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (u''(c_{t}){\dot {c}}_{t}/u'(c_{t}))}}={\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{\frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}$

Если функция полезности $u(c)$ относится к типу CRRA :

$u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}$ (в частном случае $\theta =1$ существование $u(c)=\ln(c)$)

тогда межвременная эластичность замещения определяется выражением ${\frac {1}{\theta }}$. В целом, низкое значение теты (высокая межвременная эластичность) означает, что рост потребления очень чувствителен к изменениям реальной процентной ставки. Для теты, равной 1, темпы роста потребления один к одному реагируют на изменения реальной процентной ставки. Высокое значение теты подразумевает нечувствительный рост потребления.

Модель роста Рэмси

В модели роста Рамсея эластичность межвременного замещения определяет скорость приспособления к устойчивому состоянию и поведение нормы сбережений во время перехода. Если эластичность высока, то большие изменения в потреблении не очень дорого обходятся потребителям, и в результате, если реальная процентная ставка высока, они сэкономят значительную часть своего дохода. Если эластичность низкая, мотив сглаживания потребления очень силен, и поэтому потребители будут немного экономить и много потреблять, если реальная процентная ставка высока.

Оценки

Эмпирические оценки эластичности различаются. Частично трудности связаны с тем, что микроэкономические исследования приходят к иным выводам, чем макроэкономические исследования, использующие совокупные данные. Метаанализ 169 опубликованных исследований сообщает о средней эластичности 0,5, но также и о существенных различиях между странами.