Модель Рэмси – Касса – Купманса

Модель Рэмси-Кэсса-Купманса , или модель роста Рэмси , представляет собой неоклассическую модель экономического роста, основанную в первую очередь на работах Фрэнка П. Рэмси , со значительными расширениями Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса . Модель Рэмси-Касс-Купманса отличается от модели Солоу-Свона тем, что выбор потребления является явно микрообоснованным в определенный момент времени и, таким образом, эндогенизирует норму сбережений . В результате, в отличие от модели Солоу-Свона, норма сбережений может не быть постоянной при переходе к долгосрочному устойчивому состоянию . Еще одним следствием модели является то, что результат является оптимальным по Парето или эффективным по Парето .

Первоначально Рэмси сформулировал эту модель как задачу социального планирования максимизации уровня потребления в течение последующих поколений. Лишь позже Касс и Купманс приняли модель как описание децентрализованной динамичной экономики с репрезентативным агентом . Модель Рэмси-Кэсса-Купманса направлена ​​только на объяснение долгосрочного экономического роста, а не на колебания бизнес-цикла, и не включает в себя какие-либо источники нарушений, такие как несовершенство рынка, неоднородность среди домохозяйств или экзогенные шоки . Поэтому последующие исследователи расширили модель, приняв во внимание шоки государственных закупок, изменения в занятости и другие источники нарушений, известную как теория реального делового цикла .

Математическое описание

Настройка модели

В обычной настройке время непрерывно начинается, для простоты, с $t=0$ и продолжается вечно. По предположению, единственными производственными факторами являются капитал. $K$ и труд $L$оба должны быть неотрицательными. Предполагается, что рабочая сила, составляющая все население, растет постоянными темпами. $n$, то есть ${\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL$, подразумевая, что $L=L_{0}e^{nt}$ с начальным уровнем $L_{0}>0$ в $t=0$. Наконец, позвольте $Y$ обозначают совокупное производство, а $C$ обозначают совокупное потребление.

Переменные, которые в конечном итоге призвана описать модель Рэмси-Касса-Купманса: $c={\frac {C}{L}}$, потребление на душу населения (точнее, на одного работника ), а также $k={\frac {K}{L}}$, так называемая капиталоемкость . Он делает это, сначала соединяя накопление капитала , записанное ${\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}$ в обозначениях Ньютона , с потреблением $C$, описывающий компромисс между потреблением и инвестициями. Точнее, поскольку существующий основной капитал разрушается пропорционально темпу амортизации. $\delta$ (предполагается постоянным), он требует инвестирования объема производства текущего периода $Y$. Таким образом, $${\dot {K}}=Y-\delta K-cL$$

Связь между факторами производства и совокупным выпуском описывается совокупной производственной функцией : $Y=F(K,L)$. Обычно выбирают производственную функцию Кобба – Дугласа. $F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }$ любая производственная функция, удовлетворяющая условиям Инада , но вообще допустима . Однако важно, $F$ Требуется, чтобы она была однородной степени 1 , что с экономической точки зрения предполагает постоянную отдачу от масштаба . Принимая это допущение, мы можем перевыразить совокупный выпуск в на душу населения . пересчете $$F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)$$ Например, если мы используем производственную функцию Кобба – Дугласа с $A=1,\alpha =0.5$, затем $f(k)=k^{0.5}$.

Чтобы получить первое ключевое уравнение модели Рэмси-Касс-Купманса, динамическое уравнение для запаса капитала необходимо выразить в пересчете на душу населения . Учитывая правило частностей для ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)$, у нас есть

${\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c$

нелинейное дифференциальное уравнение, подобное модели Солоу – Свона .

Максимизация благосостояния

Если игнорировать проблему распределения потребления, то норма полезности $U$ является функцией совокупного потребления. То есть, $U=U(C,t)$. Чтобы избежать проблемы бесконечности, мы экспоненциально дисконтируем будущую полезность по ставке дисконтирования. $\rho \in (0,\infty )$. Высокий $\rho$ отражает высокое нетерпение .

Проблема социального планирования заключается в максимизации функции общественного благосостояния. $U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t$.

Предположим, что экономика населена идентичными бессмертными индивидами с неизменными функциями полезности. $u(c)$ ( агент-представитель ), такая, что общая полезность равна: $$U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)$$ отсутствует Предполагается, что функция полезности строго возрастает (т. е. точка счастья ) и вогнута по $c$, с $\lim _{c\to 0}u_{c}=\infty$, где $u_{c}$ предельная полезность потребления ${\tfrac {\partial u}{\partial c}}$.

Таким образом, мы имеем задачу социального планировщика:

$\max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t$

${\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}$

где первоначальный ненулевой акционерный капитал $k(0)=k_{0}>0$ дано.

Чтобы гарантировать корректность определения интеграла, мы налагаем $\rho >n$.

Решение

Решение, обычно находимое с помощью функции Гамильтона , представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее оптимальную эволюцию потребления,

${\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c$

правило Кейнса -Рэмзи .

Термин $f_{k}(k)-\delta -\rho$, где $f_{k}=\partial _{k}f$ — предельный продукт капитала , отражает предельный доход от чистых инвестиций с учетом амортизации капитала и временного дисконтирования.

Здесь $\sigma (c)$ – эластичность межвременного замещения , определяемая формулой $$\sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}$$Формально это эквивалентно обратному относительному неприятию риска . Величина отражает кривизну функции полезности и показывает, насколько репрезентативный агент желает сгладить потребление с течением времени. Если у агента высокое относительное неприятие риска, то он имеет низкий EIS и, следовательно, будет более склонен сглаживать потребление с течением времени.

Часто полагают, что $u$ строго монотонно возрастает и вогнута, поэтому $\sigma >0$. В частности, если полезность логарифмическая, то она постоянна: $$u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1$$Мы можем переписать правило Рэмзи так: $$\underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}$$где мы интерпретируем ${\frac {d}{dt}}\ln c$ как «коэффициент задержки потребления», потому что, если он высок, это означает, что агент потребляет намного меньше сейчас по сравнению с тем, что произойдет позже, что, по сути, и означает отложенное потребление.

Графический анализ в фазовом пространстве

Фазовая диаграмма модели Рамсея для случая $f(k)=k^{0.5}$, и $n,\delta ,\rho ,\sigma =1,1,1.1,1$.

График фазового пространства (или фазовая диаграмма) модели Рэмси. Синяя линия представляет собой траекторию динамической корректировки (или седловую) экономики, при которой все ограничения, присутствующие в модели, удовлетворены. Это устойчивый путь динамической системы. Красные линии представляют динамические пути, которые исключаются условием трансверсальности.

Два связанных дифференциальных уравнения для $k$ и $c$ Рэмси–Касса–Купманса образуют динамическую систему .

${\begin{cases}{\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c\\{\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c\end{cases}}$

состояние Устойчивое $(k^{\ast },c^{\ast })$ для системы находится путем установки ${\dot {k}}$ и ${\dot {c}}$ равен нулю. Есть три решения:

$f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }$

$(0,0)$

$f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0$

Первое — единственное решение внутри верхнего квадранта. Это седловая точка (как показано ниже). Второе – это отталкивающий момент. Третье — вырожденное устойчивое равновесие.

По умолчанию подразумевается первое решение, хотя два других решения важно отслеживать.

Любая оптимальная траектория должна следовать динамической системе. Однако, поскольку переменная $c$ является контрольной переменной при каждой капиталоемкости $k$, чтобы найти соответствующую оптимальную траекторию, нам все еще нужно найти начальную норму потребления $c(0)$. Оказывается, оптимальная траектория — это единственная траектория, которая сходится к внутренней точке равновесия. Любая другая траектория либо сходится к всеспасительному равновесию с $k^{*}>0,c^{*}=0$, или расходится на $k\to 0,c\to \infty$Это означает, что экономика расходует весь свой капитал за конечное время. Оба достигают более низкой общей полезности, чем траектория к внутренней точке равновесия.

Качественное заявление об устойчивости решения $(k^{\ast },c^{\ast })$ требует линеаризации полиномом Тейлора первого порядка

${\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}$

где $\mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })$ - матрица Якобиана, оцененная в установившемся состоянии, данный

$\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}$

который имеет определитель $\left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0$ с $c^{*}>0$ , $\sigma$ положительна по предположению, и $f_{kk}<0$ с $f$ вогнута . (условие Инада) Поскольку определитель равен произведению собственных значений , собственные значения должны быть вещественными и противоположными по знаку.

Следовательно, согласно теореме об устойчивом многообразии , равновесие является седловой точкой и существует единственный устойчивый рукав, или «седловый путь», который сходится к состоянию равновесия, обозначенному синей кривой на фазовой диаграмме.

Система называется «седловой траекторией устойчивой», поскольку все неустойчивые траектории исключаются условием «отсутствия схемы Понци »:

$\lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0$

подразумевая, что текущая стоимость акционерного капитала не может быть отрицательной.

История

Спир и Янг пересматривают историю оптимального роста в 1950-е и 1960-е годы. частично сосредоточив внимание на правдивости заявленного одновременного и независимого развития «Оптимального роста в агрегированной модели накопления капитала» Касса (опубликованного в 1965 году в « Обзоре экономических исследований ») и «О концепции оптимального экономического роста» Тьяллинга Купмана. (опубликовано в журнале Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Рим: Папская академия наук).

За свою жизнь ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в односекторной модели непрерывного роста, были чем-то иным, кроме «одновременного и независимого». То, что вопрос приоритета когда-либо стал предметом обсуждения, было связано только с тем, что в опубликованной версии работы Купманса он процитировал главу из диссертации Касса, которая позже стала статьей RES . В своей статье Купманс заявляет в сноске, что Касс независимо получил условия, аналогичные тем, которые находит Купманс, и что Касс также рассматривает в своей статье предельный случай, когда ставка дисконтирования стремится к нулю. Со своей стороны, Касс отмечает, что «после того, как первоначальная версия этой статьи была завершена, наше внимание привлек очень похожий анализ Купманса. Мы опираемся на его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования стремится к нулю» . В интервью, которое Касс дал журналу «Макроэкономическая динамика» , он благодарит Купманса за указание ему на предыдущую работу Фрэнка Рэмси, заявляя, что был смущен тем, что не знал о ней, но не говорит ничего, что опровергло бы основное утверждение, что его работа и работа Купманса были в центре внимания. факт независим.

Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее игнорируемой версии статьи Купманса в рабочем документе: что послужило основой для часто цитируемого выступления Купманса на конференции, проведенной Папской академией наук в октябре 1963 года. В этой дискуссионной статье Коулза есть ошибка. Купманс утверждает в своем основном результате, что уравнения Эйлера одновременно необходимы и достаточны для характеристики оптимальных траекторий в модели, поскольку любые решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному устойчивому состоянию, будут достигать границы либо нулевого потребления, либо нулевого капитала в конечное время. Эта ошибка, очевидно, была представлена ​​на Ватиканской конференции, хотя на момент ее выступления Купмансом ни один из участников не прокомментировал проблему. Об этом можно судить по тому, что обсуждение после каждого выступления на конференции в Ватикане дословно сохраняется в томе конференции.

В обсуждении тома в Ватикане после презентации статьи Эдмона Маленво проблема действительно возникает из-за явного включения Маленво в свою статью так называемого «условия трансверсальности» (которое Малинво называет условием I). В конце презентации Купманс спрашивает Маленво, не является ли условие I просто гарантией того, что решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, достигают границы за конечное время. Маленво отвечает, что это не так, и предлагает Купмансу рассмотреть пример с функциями полезности журнала и производственными функциями Кобба-Дугласа.

На этом этапе Купманс, очевидно, осознает, что у него есть проблема, но, судя по запутанному приложению к более поздней версии документа, выпущенному после Ватиканской конференции, он, похоже, не может решить, как справиться с проблемой, поднятой Условием I Малинво.

Из интервью Касса в «Макроэкономической динамике » ясно, что Купманс встречался с научным руководителем Касса Хирофуми Удзавой на зимних собраниях Эконометрического общества в январе 1964 года, где Удзава сообщил ему, что его студент [Касс] уже решил эту проблему. . Затем Удзава, должно быть, предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, очевидно, отправил под видом технического отчета IMSSS, который Купманс цитировал в опубликованной версии своей статьи. Слово «маска» здесь уместно, потому что номер TR, указанный в цитате Купманса, указывал бы на дату выпуска отчета в начале 1950-х годов, чего явно не было.

В опубликованной версии статьи Купманса он налагает новое условие Альфа в дополнение к уравнениям Эйлера, заявляя, что единственные допустимые траектории среди тех, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера, - это та, которая сходится к оптимальному установившемуся равновесию модели. Этот результат получен в статье Касса посредством наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина . Спир и Янг предполагают, что Купманс выбрал этот путь, потому что он не хотел выглядеть «заимствовавшим» технологию трансверсальности Малинво или Касса.

Основываясь на этом и других исследованиях вклада Малинво в 1950-х годах, в частности на его интуитивном понимании важности условия трансверсальности, Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста лучше называть моделью Рэмси-Маленво-Касса, чем устоявшуюся модель Рэмси-Малинво-Касса. Почетное звание Касс-Купманс.

Дальнейшее чтение

• Аджемоглу, Дарон (2009). «Неоклассическая модель роста» . Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 287–326. ISBN  978-0-691-13292-1 .
• Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с потребительской оптимизацией» . Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 85–142. ISBN  978-0-262-02553-9 .
• Бенасси, Жан-Паскаль (2011). «Модель Рэмси» . Макроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 145–160. ISBN  978-0-19-538771-1 .
• Бланшар, Оливье Жан ; Фишер, Стэнли (1989). «Потребление и инвестиции: базовые модели бесконечного горизонта» . Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. стр. 37–89. ISBN  978-0-262-02283-5 .
• Мяо, Цзяньцзюнь (2014). «Неоклассические модели роста» . Экономическая динамика в дискретном времени . Кембридж: MIT Press. стр. 353–364. ISBN  978-0-262-02761-8 .
• Новалес, Альфонсо ; Фернандес, Эстер; Руис, Хесус (2009). «Оптимальный рост: непрерывный временной анализ» . Экономический рост: теория и методы численного решения . Берлин: Шпрингер. стр. 101–154. ISBN  978-3-540-68665-1 .
• Ромер, Дэвид (2011). «Модели бесконечного горизонта и перекрывающихся поколений». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 49–77. ISBN  978-0-07-351137-5 .

Внешние ссылки

• Обсуждение оригинальной статьи Рэмси Орацио Аттанасио на YouTube