Аддитивная цепь Маркова

В теории вероятностей аддитивная цепь Маркова — это цепь Маркова с аддитивной функцией условной вероятности . Здесь процесс представляет собой цепь Маркова с дискретным временем порядка m , а вероятность перехода в состояние в следующий момент времени представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от следующего состояния и одного из m предыдущих состояний.

Определение

Аддитивная цепь Маркова порядка m — это последовательность случайных величин X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., обладающая следующим свойством: вероятностью того, что случайная величина X _n имеет определенное значение x _n при условии, что значения всех предыдущих переменных фиксированы и зависят только от значений m предыдущих переменных ( цепь Маркова порядка m ), а влияние предыдущих переменных на сгенерированную аддитивно,

$\Pr(X_{n}=x_{n}\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ,X_{n-m}=x_{n-m})=\sum _{r=1}^{m}f(x_{n},x_{n-r},r).$

Бинарный случай

Бинарная X Маркова — это то место, где пространство состояний цепи состоит только из двух значений: n _{аддитивная цепь} ∈ { x ₁ , x ₂ }. Например, X _n ∈ { 0, 1 }. Условную функцию вероятности бинарной аддитивной цепи Маркова можно представить как

$\Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )={\bar {X}}+\sum _{r=1}^{m}F(r)(x_{n-r}-{\bar {X}}),$

$\Pr(X_{n}=0\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )=1-\Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ).$

Здесь ${\bar {X}}$ — вероятность найти X _n = 1 в последовательности и F ( r ) называется функцией памяти. Стоимость ${\bar {X}}$ и функция F ( r ) содержат всю информацию о корреляционных свойствах цепи Маркова.

Связь между функцией памяти и корреляционной функцией

В бинарном случае корреляционная функция между переменными $X_{n}$ и $X_{k}$ цепи зависит от расстояния $n-k$ только. Оно определяется следующим образом:

$K(r)=\langle (X_{n}-{\bar {X}})(X_{n+r}-{\bar {X}})\rangle =\langle X_{n}X_{n+r}\rangle -{\bar {X}}^{2},$

где символ $\langle \cdots \rangle$ обозначает усреднение по всем n . По определению,

$K(-r)=K(r),K(0)={\bar {X}}(1-{\bar {X}}).$

Существует связь между функцией памяти и корреляционной функцией бинарной аддитивной цепи Маркова:

$K(r)=\sum _{s=1}^{m}K(r-s)F(s),\,\,\,\,r=1,2,\dots \,.$

См. также

• Примеры цепей Маркова

Ссылки

• A.A. Markov. (1906) "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete , 2-ya seriya, tom 15, 135–156
• АА Марков. (1971) «Распространение предельных теорем теории вероятностей на сумму переменных, связанных в цепочку». перепечатано в Приложении B: Р. Ховард. Динамические вероятностные системы, том 1: Цепи Маркова . Джон Уайли и сыновья
• С. Ход; У. Кешет (2004). «Фазовый переход в случайных блужданиях с дальними корреляциями». Физ. Преподобный Е. 70 (1 Pt 2): 015104. arXiv : cond-mat/0311483 . Бибкод : 2004PhRvE..70a5104H . дои : 10.1103/PhysRevE.70.015104 . ПМИД   15324113 . S2CID   18169687 .
• С.Л. Нарасимхан; Дж. А. Натан; КПН Мурти (2005). «Может ли грубая структура ввести долгосрочные корреляции в символическую последовательность?». Еврофиз. Летт . 69 (1): 22. arXiv : cond-mat/0409042 . Бибкод : 2005EL.....69...22N . дои : 10.1209/epl/i2004-10307-2 . S2CID   250845691 .
• Рамакришнан, С. (1981) «Конечно-аддитивные цепи Маркова», Труды Американского математического общества , 265 (1), 247–272 JSTOR   1998493