Теорема Хобби – Райса

В математике , и в частности в проблеме разделения ожерелья , теорема Хобби-Райса является результатом, который полезен для установления существования определенных решений. Это было доказано в 1965 году Чарльзом Р. Хобби и Джоном Р. Райсом ; упрощенное доказательство было дано в 1976 г. А. Пинкусом.

Теорема

Определите разбиение интервала [0,1] как разделение интервала на $n+1$ подинтервалы как возрастающая последовательность $n$ цифры:

$0=z_{0}<\underbrace {z_{1}<\dotsb <z_{n}} <z_{n+1}=1$

Определите подписанный раздел как раздел, в котором каждый подинтервал $i$ имеет соответствующий знак $\delta _{i}$:

$\delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\}$

Теорема Хобби–Райса гласит, что для любых n непрерывно интегрируемых функций:

$g_{1},\dotsc ,g_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

существует знаковое разбиение [0,1] такое, что:

$\sum _{i=1}^{n+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z)\,dz=0{\text{ for }}1\leq j\leq n.$

(другими словами: для каждой из n функций ее интеграл по положительным подинтервалам равен ее интегралу по отрицательным подинтервалам).

Заявление на справедливый раздел

Теорема была использована Ногой Алоном в контексте разделения ожерелья. в 1987 году.

Предположим, что интервал [0,1] — торт . Имеется n партнеров, и каждая из n функций является функцией плотности значений одного партнера. Мы хотим разделить торт на две части так, чтобы все партнеры согласились, что эти части имеют одинаковую ценность. Эту проблему справедливого разделения иногда называют проблемой разделения консенсуса пополам . Теорема Хобби–Райса предполагает, что это можно сделать с помощью n разрезов.