Арксинусные законы (винеровский процесс)

В теории вероятностей представляют законы арксинуса собой набор результатов для одномерных случайных блужданий и броуновского движения ( винеровского процесса ). Самый известный из них приписывается Полю Леви ( 1939 ).

Все три закона связывают свойства пути винеровского процесса с арксинусным распределением . Случайная величина X на [0,1] распределена по арксинусу, если

$\Pr \left[X\leq x\right]={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right),\qquad \forall x\in [0,1].$

Заявление о законах

Везде мы предполагаем, что ( W _t ) _{0 ⩽ t ⩽ 1} ∈ R — одномерный винеровский процесс на [0,1]. Масштабная инвариантность гарантирует, что результаты могут быть обобщены на винеровские процессы, выполняемые при t ∈[0,∞).

Первый закон арксинуса (Леви).

Первый закон арксинуса гласит, что доля времени, в течение которого одномерный винеровский процесс является положительным, соответствует распределению арксинуса. Позволять

$T_{+}=\left|\{\,t\in [0,1]\,\colon \,W_{t}>0\,\}\right|$

быть мерой множества моментов времени в [0,1], когда винеровский процесс положителен. Затем $T_{+}$ распределено по арксинусу.

Второй закон арксинуса

Второй закон арксинуса описывает распределение момента последней смены знака винеровского процесса. Позволять

$L=\sup \left\{t\in [0,1]\,\colon \,W_{t}=0\right\}$

быть временем последнего нуля. Тогда L имеет арксинусное распределение.

Третий закон арксинуса

Третий закон арксинуса гласит, что время, в которое винеровский процесс достигает своего максимума, распределено по арксинусу.

Формулировка закона основана на том факте, что винеровский процесс почти наверняка имеет уникальные максимумы: и поэтому мы можем определить случайную величину M , которая представляет собой время достижения максимума. т.е. уникальный M такой, что

$W_{M}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,1]\}.$

Тогда M имеет арксинусное распределение.

Эквивалентность второго и третьего законов

Определение текущего максимума процесса M _t винеровского процесса

$M_{t}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,t]\},$

тогда закон X _t = M _t − W _t имеет тот же закон, что и отраженный винеровский процесс | Б _т | (где Bt _от — винеровский процесс, не зависящий ) _Wt .

Поскольку нули B и | Б | совпадают, последний нуль X имеет то же распределение, что и L , последний нуль винеровского процесса. Последний ноль X появляется именно тогда, когда W достигает своего максимума. Отсюда следует, что второй и третий законы эквивалентны.

Ссылки

• Леви, Поль (1939), «О некоторых однородных случайных процессах» , Compositio Mathematica , 7 : 283–339, ISSN   0010-437X , MR   0000919
• Мортерс, Питер и Перес, Юваль (2010). Броуновское движение . Том. 30. Издательство Кембриджского университета.
• Рогозин, Б.А. (2001) [1994], «Арксинусный закон» , Энциклопедия Математики , EMS Press