Двойственность Элвиса-Кертиса

В математике двойственность Алвиса -Кёртиса — это операция двойственности над характерами над редуктивной группы конечным полем , введенная Чарльзом В. Кертисом ( 1980 ) и изученная его учеником Дином Алвисом ( 1979 ). Каванака ( 1981 , 1982 ) ввел аналогичную операцию двойственности для алгебр Ли.

Двойственность Алвиса – Кертиса имеет порядок 2 и представляет собой изометрию обобщенных характеров.

Картер (1985 , 8.2) подробно обсуждает двойственность Алвиса-Кёртиса.

Определение

Двойственный ζ* характеру ζ конечной группы G с расщепленной BN-парой определяется как

$\zeta ^{*}=\sum _{J\subseteq R}(-1)^{\vert J\vert }\zeta _{P_{J}}^{G}$

Здесь сумма ведется по всем подмножествам J множества R простых корней системы Кокстера группы G . Персонаж ζ
_{P J} — усечение ζ до параболической подгруппы P _J подмножества J , заданное ограничением ζ до P _J и последующим взятием пространства инвариантов унипотентного радикала P _J , а ζ ^Г
_{P J} — индуцированное представление G . (Операция усечения — это сопряженный функтор параболической индукции .)

Примеры

• Двойственным к тривиальному характеру 1 является характер Стейнберга .
• Делинь и Люстиг (1983) показали, что двойственный характер Делиня – Люстига R ^я
  _T есть ε _G ε _T R ^я
  _Т. ​
• Двойственным к каспидальному характеру χ является (–1) ^|Д| χ, где ∆ — множество простых корней.
• Двойственным характеру Гельфанда–Граева является характер, принимающий значение | З ^Ф | д ^л на обычных унипотентных элементах и ​​исчезающих в другом месте.

Ссылки

• Алвис, Дин (1979), «Операция двойственности в кольце характеров конечной группы Шевалле», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 1 (6): 907–911, doi : 10.1090/S0273-0979-1979 -14690-1 , ISSN   0002-9904 , МР   0546315
• Картер, Роджер В. (1985), Конечные группы лиева типа. Классы сопряженности и сложные символы. , Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-90554-7 , МР   0794307
• Кертис, Чарльз В. (1980), «Усечение и двойственность в кольце характеров конечной группы лиева типа», Journal of Algebra , 62 (2): 320–332, doi : 10.1016/0021-8693(80)90185 -4 , ISSN   0021-8693 , МР   0563231
• Делинь, Пьер ; Люстиг, Джордж (1982), «Двойственность представлений редуктивной группы над конечным полем», Journal of Algebra , 74 (1): 284–291, doi : 10.1016/0021-8693(82)90023-0 , ISSN   0021 -8693 , МР   0644236
• Делинь, Пьер ; Люстиг, Джордж (1983), «Двойственность представлений редуктивной группы над конечным полем. II», Journal of Algebra , 81 (2): 540–545, doi : 10.1016/0021-8693(83)90202-8 , ISSN   0021-8693 , МР   0700298
• Каванака, Нориаки (1981), «Преобразования Фурье инвариантных функций с нильпотентным носителем на конечной простой алгебре Ли» , Японская академия. Слушания. Серия А. Математические науки , 57 (9): 461–464, doi : 10.3792/pjaa.57.461 , ISSN   0386-2194 , MR   0637555
• Каванака, Н. (1982), «Преобразования Фурье инвариантных функций с нильпотентным носителем на простой алгебре Ли над конечным полем», Inventiones Mathematicae , 69 (3): 411–435, doi : 10.1007/BF01389363 , ISSN   0020-9910 , МР   0679766 , S2CID   119866092