Круспидальное представление

В теории чисела $L^{2}$ пробелы. Термин Cuspidal выводится на определенном расстоянии от форм Cusp классической теории модульной формы . В современной формулировке автоорфических представлений представления занимают место голоморфных функций ; Эти представления могут быть адельских алгебраических групп .

Когда группа является общей линейной группой $\operatorname {GL} _{2}$ , репрезентации квалификации напрямую связаны с формами cusp и формами маасов . Для случая форм cusp каждая собственная форма Hecke ( Newform ) соответствует кисскому представлению.

Формулировка

Пусть g является восстановительной группой по количеству поля K и обозначению Adeles of позвольте K. алгебраической Группа g ( k ) встраивает диагонали в группу g ( a ), отправляя g в g ( k ) на кортеж ( g _p ) _p в g ( a ) с G = g _p для всех (конечных и бесконечных) Primes p Полем Пусть Z обозначает центр G и пусть ω будет непрерывным унитарным символом из z ( k ) \ z ( a ) ^× в c ^×Полем Исправьте меру HAAR на G ( A ) и пусть L ²₀ ( g ( k ) \ g ( a ) обозначают пространство Гильберта сложных ), ω измеримых функций , F , на g ( a ) удовлетворяющий

f (γ g ) = f ( g ) для всех γ ∈ G ( k )
f ( gz ) = f ( g ) ω ( z ) для всех z ∈ z ( a )
$\int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty$
$\int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0$ Для всех однопотентных радикалов , u всех правильных параболических подгрупп G a ( ) и g ∈ G ( a ).

Векторное пространство L ²₀ ( g ( k ) \ g ( a ), ω) называется пространством форм cusp с центральным символом ω на g ( a ). Функция, появляющаяся в таком пространстве, называется тонкой функцией .

Функция квалификации генерирует унитарное представление группы G ( A ) в комплексном пространстве Гилберта $V_{f}$ генерируется правым переводом f . Здесь действие g G ∈ а ( ) на $V_{f}$ дано

(g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}

.

Пространство формы COUSP с центральным символом ω разлагается в прямую сумму пространств Гилберта

L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }

сумма над неприводимыми подразделениями L где ²₀ ( g ( k ) \ g ( a ), ω) и m _$π$ являются положительными целыми числами (то есть каждая непонижаемая субподрука происходит с конечной множественностью). Крайственное представление g ( a ) является такой подразделением ( $π$ , V _$π$ ) для некоторого ω .

Группы, для которых множественность m _$π,$ как говорят, имеют свойство множественного вагона .

Смотрите также

Жакет модуль

Ссылки

Джеймс У. Когделл, Генри Хейонсин Ким, Марути Рам Мурти. Лекции по автоморфным L-функциям (2004), раздел 5 лекции 2.