Реальная гиперэллиптическая кривая

В математике существует два типа гиперэллиптических кривых , класс алгебраических кривых : действительные гиперэллиптические кривые и воображаемые гиперэллиптические кривые , которые различаются количеством точек на бесконечности. Гиперэллиптические кривые существуют для каждого рода $g\geq 1$. Общая формула гиперэллиптической кривой над конечным полем $K$ дается $$C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]$$где $h(x),f(x)\in K$ удовлетворять определенным условиям. На этой странице мы опишем больше о реальных гиперэллиптических кривых. Это кривые, имеющие две точки на бесконечности, а воображаемые гиперэллиптические кривые имеют одну точку на бесконечности .

Определение

Вещественная гиперэллиптическая кривая рода g над K определяется уравнением вида $C:y^{2}+h(x)y=f(x)$ где $h(x)\in K$ имеет степень не выше g +1, а $f(x)\in K$ должен иметь степень 2 g +1 или 2 g +2. Эта кривая является неособой кривой, у которой нет точек $(x,y)$ в алгебраическом замыкании $K$ удовлетворяет уравнению кривой $y^{2}+h(x)y=f(x)$ и оба уравнения в частных производных : $2y+h(x)=0$ и $h'(x)y=f'(x)$. Множество (конечных) $K$–рациональные точки на C определяются выражением $$C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S$$где $S$ множество точек, находящихся на бесконечности. Для реальных гиперэллиптических кривых есть две точки на бесконечности: $\infty _{1}$ и $\infty _{2}$. Для любой точки $P(a,b)\in C(K)$, противоположная точка $P$ дается ${\overline {P}}=(a,-b-h)$; это другая точка с x координатой a, которая также лежит на кривой.

Пример

Позволять $C:y^{2}=f(x)$ где $$f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x+3)$$над $R$. С $\deg f(x)=2g+2$ и $f(x)$ имеет степень 6, поэтому $C$ есть кривая рода g = 2.

Однородная версия уравнения кривой имеет вид $$Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.$$У него есть единственная точка на бесконечности, заданная соотношением (0:1:0), но эта точка является особой. Взрыв ​ ​ $C$ имеет 2 разные точки на бесконечности, которые мы обозначим $\infty _{1}$ и $\infty _{2}$. Следовательно, эта кривая является примером реальной гиперэллиптической кривой.

В общем, каждая кривая, заданная уравнением, где f имеет четную степень, имеет две точки на бесконечности и является реальной гиперэллиптической кривой, в то время как кривые, где f имеет нечетную степень, имеют только одну точку в раздутии над (0:1:0) и являются таким образом, воображаемые гиперэллиптические кривые . В обоих случаях предполагается, что аффинная часть кривой неособа (см. условия на производные выше).

Арифметика в реальной гиперэллиптической кривой

В реальной гиперэллиптической кривой сложение больше не определяется в точках, как в эллиптических кривых, а в делителях и якобиане . Позволять $C$ — гиперэллиптическая кривая рода g над конечным полем K . Делитель $D$ на $C$ есть формальная конечная сумма точек $P$ на $C$. Мы пишем $$D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}$$ где $n_{P}\in \mathbb {Z}$ и $n_{p}=0$ почти для всех $P$.

Степень ${\textstyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$ определяется $$\deg(D)=\sum _{P\in C}{n_{P}}.$$$D$ говорят, что он определен над $K$ если ${\textstyle D^{\sigma }=\sum _{P\in C}n_{P}P^{\sigma }=D}$ для всех автоморфизмов σ ${\overline {K}}$ над $K$. Набор $Div(K)$ делителей $C$ определено более $K$ образует аддитивную абелеву группу по правилу сложения $$\sum a_{P}P+\sum b_{P}P=\sum {(a_{P}+b_{P})P}.$$

Набор $Div^{0}(K)$ всех делителей нуля степени $C$ определено более $K$ является подгруппой $Div(K)$.

Берем пример:

Позволять $D_{1}=6P_{1}+4P_{2}$ и $D_{2}=1P_{1}+5P_{2}$. Если мы добавим их, то $D_{1}+D_{2}=7P_{1}+9P_{2}$. Степень $D_{1}$ является $\deg(D_{1})=6+4=10$ и степень $D_{2}$ является $\deg(D_{2})=1+5=6$. Затем, $\deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{1})+\deg(D_{2})=16.$

Для полиномов $G\in K[C]$, делитель $G$ определяется $$\mathrm {div} (G)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.$$Если функция $G$ имеет полюс в точке $P$ затем $-{\mathrm {ord} }_{P}(G)$ это порядок исчезновения $G$ в $P$. Предполагать $G,H$ являются полиномами в $K[C]$; делитель рациональной функции $F=G/H$ называется главным делителем и определяется выражением $\mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)$. Обозначим группу главных делителей через $P(K)$, то есть, $P(K)=\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}$. Якобиан $C$ над $K$ определяется $J=Div^{0}/P$. Факторная группа $J$ также называется группой классов дивизоров $C$. Элементы, которые определены над $K$ сформировать группу $J(K)$. Обозначим через ${\overline {D}}\in J(K)$ класс $D$ в $Div^{0}(K)/P(K)$.

Существует два канонических способа представления классов дивизоров для реальных гиперэллиптических кривых. $C$ которые имеют две точки бесконечности $S=\{\infty _{1},\infty _{2}\}$. Первый — представить делитель нуля степени как ${\bar {D}}$ такой, что ${\textstyle D=\sum _{i=1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$, где $P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})$, $P_{i}\not =\infty _{2}$, и $P_{i}\not ={\bar {P_{j}}}$ если $i\neq j$ Представитель $D$ из ${\bar {D}}$ тогда называется полуредуцированным. Если $D$ удовлетворяет дополнительному условию $r\leq g$ тогда представитель $D$ называется редуцированным. Обратите внимание, что $P_{i}=\infty _{1}$ разрешено для некоторых i . Отсюда следует, что каждый класс дивизоров степени 0 содержит уникальный представитель ${\bar {D}}$ с $$D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2}+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),$$где $D_{x}$ является делителем, взаимно простым с обоими $\infty _{1}$ и $\infty _{2}$, и $0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g$.

Другое представление сбалансировано на бесконечности. Позволять $D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}$, обратите внимание, что этот делитель $K$-рационально, даже если точки $\infty _{1}$ и $\infty _{2}$ не являются независимыми таковыми. Напишите представителю класса ${\bar {D}}$ как $D=D_{1}+D_{\infty }$,где $D_{1}$ называется аффинной частью и не содержит $\infty _{1}$ и $\infty _{2}$, и пусть $d=\deg(D_{1})$. Если $d$ даже тогда $$D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).$$

Если $d$ тогда странно $$D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.$$Например, пусть аффинные части двух делителей задаются формулой

$D_{1}=6P_{1}+4P_{2}$ и $D_{2}=1P_{1}+5P_{2}$

тогда сбалансированные делители

$D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{\infty _{2}}$ и $D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}$

Преобразование реальной гиперэллиптической кривой в воображаемую гиперэллиптическую кривую

Позволять $C$ быть вещественной квадратичной кривой над полем $K$. Если существует разветвленный простой делитель степени 1 в $K$ тогда мы сможем выполнить бирациональное преобразование к мнимой квадратичной кривой.Точка (конечная или бесконечная) называется разветвленной, если она равна своей противоположности. Это означает, что $P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-b-h(a))$, то есть это $h(a)+2b=0$. Если $P$ тогда разветвлен $D=P-\infty _{1}$ является разветвленным простым делителем.

Настоящая гиперэллиптическая кривая $C:y^{2}+h(x)y=f(x)$ рода $g$ с разветвленным $K$-рациональная конечная точка $P=(a,b)$ бирационально эквивалентен воображаемой модели $C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')$ рода $g$, то есть $\deg({\bar {f}})=2g+1$ и поля функции равны $K(C)=K(C')$. Здесь:

$x'={\frac {1}{x-a}}$ и $y'={\frac {y+b}{(x-a)^{g+1}}}$ ( я )

В нашем примере $C:y^{2}=f(x)$ где $f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x$, h ( x ) равен 0. Для любой точки $P=(a,b)$, $h(a)$ равно 0, и поэтому требование P становится разветвленности $b=0$. Замена $h(a)$ и $b$, мы получаем $f(a)=0$, где $f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(a+3)$, то есть, $a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}$.

Из ( i ) получаем ${\textstyle x={\frac {ax'+1}{x'}}}$ и ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$. Для g = 2 имеем ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$.

Например, пусть $a=1$ затем ${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$ и ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$, мы получаем $$\left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-2\right).$$

Для удаления знаменателей это выражение умножается на $x^{6}$, затем: $$y'^{2}=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')$$давая кривую $$C':y'^{2}={\bar {f}}(x')$$ где $${\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x'+1.$$

$C'$ является мнимой квадратичной кривой, поскольку ${\bar {f}}(x')$ имеет степень $2g+1$.