Метрика Сасаки

Метрика Сасаки — это естественный выбор римановой метрики на касательном расслоении риманова многообразия. Представлен Сигео Сасаки в 1958 году.

Строительство

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие , обозначим через $\tau \colon \mathrm {T} M\to M$ касательное расслоение над $M$ . Метрика Сасаки ${\hat {g}}$ на $\mathrm {T} M$ однозначно определяется следующими свойствами:

Карта $\tau \colon \mathrm {T} M\to M$ является римановой субмерсией .
Метрика в каждом касательном пространстве $\mathrm {T} _{p}\subset \mathrm {T} M$ – евклидова метрика, индуцированная $g$ .
Предполагать $\gamma (t)$ представляет собой кривую в $M$ и $v(t)\in \mathrm {T} _{\gamma (t)}$ представляет собой параллельное векторное поле вдоль $\gamma$ . Обратите внимание, что $v(t)$ образует кривую в $\mathrm {T} M$ . Для метрики Сасаки имеем $v'(t)\perp \mathrm {T} _{\gamma (t)}$ для любого $t$ ; то есть кривая $v(t)$ обычно пересекает касательные пространства $\mathrm {T} _{\gamma (t)}\subset \mathrm {T} M$ .