Алгебра путей Ливитта

В математике алгебра путей Ливитта — это универсальная алгебра, построенная на основе ориентированного графа. Алгебры путей Ливитта обобщают алгебры Ливитта и могут рассматриваться как алгебраические аналоги графовых C*-алгебр .

История

Алгебры путей Ливитта были одновременно представлены в 2005 году Джином Абрамсом и Гонсало Арандой Пино. а также Пере Ара, Мария Морено и Энрике Пардо, при этом ни одна из двух групп не знает о работе другой. Алгебры путей Ливитта исследовались десятками математиков с момента их появления, а в 2020 году алгебры путей Ливитта были добавлены в Предметную классификацию математики с кодом 16S88 в рамках общей дисциплины «Ассоциативные кольца и алгебры».

Основным справочником является книга «Алгебра путей Ливитта» .

Графовая терминология

В теории алгебр путей Ливитта для графов используется терминология, аналогичная терминологии C*-алгебраистов, которая немного отличается от той, которую используют теоретики графов. Термин «граф» обычно используется для обозначения ориентированного графа. $E=(E^{0},E^{1},r,s)$ состоящий из счетного множества вершин $E^{0}$, счетное множество ребер $E^{1}$и карты $r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}$ определение диапазона и источника каждого края соответственно. Вершина $v\in E^{0}$ называется раковиной , когда $s^{-1}(v)=\emptyset$; т. е. в нем нет ребер $E$ с источником $v$. Вершина $v\in E^{0}$ называется бесконечным эмиттером, когда $s^{-1}(v)$ бесконечен; т. е. существует бесконечно много ребер в $E$ с источником $v$. Вершина называется особой вершиной, если она является либо стоком, либо бесконечным эмиттером, а вершина называется регулярной вершиной, если она не является особой вершиной. Обратите внимание, что вершина $v$ является регулярным тогда и только тогда, когда количество ребер в $E$ с источником $v$ конечно и ненулевое. Граф называется строковым, если он не имеет бесконечных эмиттеров; т. е. если каждая вершина является либо регулярной вершиной, либо стоком.

Путь — это конечная последовательность ребер $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ с $r(e_{i})=s(e_{i+1})$ для всех $1\leq i\leq n-1$. Бесконечный путь — это счетная бесконечная последовательность ребер. $e_{1}e_{2}\ldots$ с $r(e_{i})=s(e_{i+1})$ для всех $i\in \mathbb {N}$. Цикл – это путь $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ с $r(e_{n})=s(e_{1})$, и выход из цикла $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ это край $f\in E^{1}$ такой, что $s(f)=s(e_{i})$ и $f\neq e_{i}$ для некоторых $1\leq i\leq n$. Цикл $e_{1}e_{2}\ldots e_{n}$ называется простым циклом, если $s(e_{i})\neq s(e_{1})$ для всех $2\leq i\leq n$.

Ниже приведены два важных условия графа, которые возникают при изучении алгебр путей Ливитта.

Условие (L): Каждый цикл в графе имеет выход.

Условие (K): В графе нет вершины, принадлежащей ровно одному простому циклу. Эквивалентно, граф удовлетворяет условию (K) тогда и только тогда, когда каждая вершина графа либо не содержит циклов, либо состоит из двух или более простых циклов.

Соотношения Кунца–Кригера и универсальное свойство.

Исправить поле $K$. Кунц – Воин $E$-семья – это коллекция $\{s_{e}^{*},s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}$ в $K$ следующие три соотношения (называемые отношениями Кунца – Кригера -алгебра такая, что выполняются ):

(СК0) $p_{v}p_{w}={\begin{cases}p_{v}&{\text{if }}v=w\\0&{\text{if }}v\neq w\end{cases}}\quad$ для всех $v,w\in E^{0}$,

(СК1) $s_{e}^{*}s_{f}={\begin{cases}p_{r(e)}&{\text{if }}e=f\\0&{\text{if }}e\neq f\end{cases}}\quad$ для всех $e,f\in E^{0}$,

(СК2) $p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}$ в любое время $v$ является правильной вершиной, и

(СК3) $p_{s(e)}s_{e}=s_{e}$ для всех $e\in E^{1}$.

Алгебра путей Ливитта, соответствующая $E$, обозначенный $L_{K}(E)$, определяется как $K$-алгебра, порожденная Кунцем – Кригером $E$-семья, универсальная в том смысле, что всякий раз, когда $\{t_{e},t_{e}^{*},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}$ это Кунц-Кригер $E$-семья в $K$-алгебра $A$ существует $K$-алгебра гомоморфизм $\phi :L_{K}(E)\to A$ с $\phi (s_{e})=t_{e}$ для всех $e\in E^{1}$, $\phi (s_{e}^{*})=t_{e}^{*}$ для всех $e\in E^{1}$, и $\phi (p_{v})=q_{v}$ для всех $v\in E^{0}$.

Мы определяем $p_{v}^{*}:=p_{v}$ для $v\in E^{0}$, и для пути $\alpha :=e_{1}\ldots e_{n}$ мы определяем $s_{\alpha }:=s_{e_{1}}\ldots s_{e_{n}}$ и $s_{\alpha }^{*}:=s_{e_{n}}^{*}\ldots s_{e_{1}}^{*}$. Используя соотношения Кунца – Кригера, можно показать, что

$L_{K}(E)=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:\alpha {\text{ and }}\beta {\text{ are paths in }}E\}.$

Таким образом, типичный элемент $L_{K}(E)$ имеет форму $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}$ для скаляров $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ и пути $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ в $E$. Если $K$ это поле с инволюцией $\lambda \mapsto {\overline {\lambda }}$ (например, когда $K=\mathbb {C}$), то можно определить *-операцию над $L_{K}(E)$ к $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\overline {\lambda _{i}}}s_{\beta _{i}}s_{\alpha _{i}}^{*}$ это делает $L_{K}(E)$ в *-алгебру.

Более того, можно показать, что для любого графа $E$, алгебра путей Ливитта $L_{\mathbb {C} }(E)$ изоморфна плотной *-подалгебре графа C*-алгебры $C^{*}(E)$.

Примеры

Алгебры путей Ливитта были вычислены для многих графов, и в следующей таблице показаны некоторые конкретные графы и их алгебры путей Ливитта. Мы используем соглашение, согласно которому двойная стрелка, проведенная от одной вершины к другой и обозначенная $\infty$ указывает на то, что существует счетное число ребер от первой вершины до второй.

Ориентированный граф $E$	Алгебра путей Ливитта $L_{K}(E)$
	$K$, базовое поле
	$K[x,x^{-1}]$, полиномы Лорана с коэффициентами в $K$
	$M_{n}(K)$, $n\times n$ матрицы с записями в $K$
	$M_{\infty }{K}$, счетно-индексированные, конечно поддерживаемые матрицы с элементами в $K$
	$M_{n}(K[x,x^{-1}])$, $n\times n$ матрицы с записями в $K[x,x^{-1}]$
	алгебра Ливитта $L_{K}(n)$
	$M_{\infty }{K}^{1}$, унификация алгебры $M_{\infty }{K}$

Соответствие между графическими и алгебраическими свойствами

Как и в случае с графовыми C*-алгебрами, теоретико-графовые свойства $E$ соответствуют алгебраическим свойствам $L_{K}(E)$. Интересно, что часто бывает, что свойства графа $E$ которые эквивалентны алгебраическому свойству $L_{K}(E)$ являются теми же графическими свойствами $E$ эквивалентные соответствующему C*-алгебраическому свойству $C^{*}(E)$, и более того, многие свойства для $L_{K}(E)$ независимы от поля $K$.

В следующей таблице представлен краткий список некоторых наиболее известных эквивалентов. Читатель, возможно, пожелает сравнить эту таблицу с соответствующей таблицей для графовых С*-алгебр .

Собственность $E$	Собственность $L_{K}(E)$
$E$ — конечный ацилический граф.	$L_{K}(E)$ является конечномерным.
Набор вершин $E^{0}$ конечно.	$L_{K}(E)$ унитарен (т. е. $L_{K}(E)$ содержит мультипликативное тождество).
$E$ не имеет циклов.	$L_{K}(E)$ является ультраматричным $K$-алгебра (т.е. прямой предел конечномерной $K$-алгебры).
$E$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Состояние (Л), для каждой вершины $v$ и каждый бесконечный путь $\alpha$ существует направленный путь из $v$ в вершину на $\alpha$, и для каждой вершины $v$ и каждая особая вершина $w$ существует направленный путь из $v$ к $w$	$L_{K}(E)$ это просто.
$E$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Состояние (Л), для каждой вершины $v$ в $E$ есть путь из $v$ к циклу.	Каждый левый идеал $L_{K}(E)$ содержит бесконечный идемпотент. (Когда $L_{K}(E)$ это просто, это эквивалентно $L_{K}(E)$ являющееся чисто бесконечным кольцом.)

Оценка

Для пути $\alpha :=e_{1}\ldots e_{n}$ мы позволяем $|\alpha |:=n$ обозначаем длину $\alpha$. Для каждого целого числа $n\in \mathbb {Z}$ мы определяем $L_{K}(E)_{n}:=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:|\alpha |-|\beta |=n\}$. Можно показать, что это определяет $\mathbb {Z}$-градуировка на алгебре путей Ливитта $L_{K}(E)$ и это $L_{K}(E)=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }L_{K}(E)_{n}$ с $L_{K}(E)_{n}$ являющаяся компонентой однородных элементов степени $n$. Важно отметить, что градуировка зависит от выбора порождающего метода Кунца-Кригера. $E$-семья $\{s_{e},s_{e}^{*},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}$. Градуировка алгебры путей Ливитта $L_{K}(E)$ является алгебраическим аналогом калибровочного действия на графе C*-алгебры $C*(E)$, и это фундаментальный инструмент для анализа структуры $L_{K}(E)$.

Теоремы единственности

Есть две хорошо известные теоремы единственности для алгебр путей Ливитта: теорема о градуированной единственности и теорема единственности Кунца-Кригера. Они аналогичны соответственно калибровочно-инвариантной теореме единственности и теореме единственности Кунца — Кригера для графовых C*-алгебр . Формальные формулировки теорем единственности таковы:

Теорема о градуированной единственности: зафиксируйте поле $K$. Позволять $E$ быть графом, и пусть $L_{K}(E)$ — ассоциированная алгебра путей Ливитта. Если $A$ это оцениваемый $K$-алгебра и $\phi :L_{K}(E)\to A$ является гомоморфизмом градуированной алгебры с $\phi (p_{v})\neq 0$ для всех $v\in E^{0}$, затем $\phi$ является инъективным.

Теорема Кунца-Кригера о единственности: зафиксируйте поле $K$. Позволять $E$ — граф, удовлетворяющий условию (L), и пусть $L_{K}(E)$ — ассоциированная алгебра путей Ливитта. Если $A$ это $K$-алгебра и $\phi :L_{K}(E)\to A$ является гомоморфизмом алгебры с $\phi (p_{v})\neq 0$ для всех $v\in E^{0}$, затем $\phi$ является инъективным.

Идеальная структура

Мы используем термин «идеал» для обозначения «двустороннего идеала» в наших путевых алгебрах Ливитта. Идеальная структура $L_{K}(E)$ можно определить из $E$. Подмножество вершин $H\subseteq E^{0}$ называется наследственной, если для всех $e\in E^{1}$, $s(e)\in H$ подразумевает $r(e)\in H$. Наследственное подмножество $H$ называется насыщенным, если всякий раз, когда $v$ является правильной вершиной с $r(s^{-1}(v))\subseteq H$, затем $v\in H$. Насыщенные наследственные подмножества $E$ частично упорядочены по включению и образуют решетку со сходящимися $H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}$ и присоединяйся $H_{1}\vee H_{2}$ определяется как наименьшее насыщенное наследственное подмножество, содержащее $H_{1}\cup H_{2}$.

Если $H$ является насыщенным наследственным подмножеством, $I_{H}$ определяется как двусторонний идеал в $L_{K}(E)$ созданный $\{p_{v}:v\in H\}$. Двусторонний идеал $I$ из $L_{K}(E)$ называется градуированным идеалом, если $I$ имеет $\mathbb {Z}$-оценка $I=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }I_{n}$ и $I_{n}=L_{K}(E)_{n}\cap I$ для всех $n\in \mathbb {Z}$. Градуированные идеалы частично упорядочены по включению и образуют решетку со сходящимися $I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}$ и совместный $I_{1}\vee I_{2}$ определяется как идеал, порожденный $I_{1}\cup I_{2}$. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, идеал $I_{H}$ оценивается.

Следующая теорема описывает, как градуированные идеалы $L_{K}(E)$ соответствуют насыщенным наследственным подмножествам $E$.

Теорема: зафиксируйте поле $K$, и пусть $E$ быть конечнострочным графом. Тогда имеют место следующие положения:

1. Функция $H\mapsto I_{H}$ является решеточным изоморфизмом решетки насыщенных наследственных подмножеств $E$ на решетку градуированных идеалов $L_{K}(E)$ с обратным выражением $I\mapsto \{v\in E^{0}:p_{v}\in I\}$.
2. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, частное $L_{K}(E)/I_{H}$ является $*$-изоморфен $L_{K}(E\setminus H)$, где $E\setminus H$ является подграфом $E$ с набором вершин $(E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H$ и набор кромок $(E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)$.
3. Для любого насыщенного наследственного подмножества $H$, идеал $I_{H}$ эквивалентен ли Морита $L_{K}(E_{H})$, где $E_{H}$ является подграфом $E$ с набором вершин $E_{H}^{0}:=H$ и набор кромок $E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)$.
4. Если $E$ удовлетворяет условию (K), то каждый идеал $L_{K}(E)$ оценивается, а идеалы $L_{K}(E)$ находятся во взаимно однозначном соответствии с насыщенными наследственными подмножествами $E$.