Многофакторные модели

В математических финансах многофакторные модели представляют собой модели ценообразования активов , которые можно использовать для оценки ставки дисконтирования для оценки финансовых активов. Как правило, они являются расширением однофакторной модели ценообразования капитальных активов (CAPM).

Модель Розенберга и Марата

Модель многофакторного риска акций была впервые разработана Барром Розенбергом и Винаем Маратом. ^[1] Первоначально они предложили линейную модель бета-тестирования.

                             $r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)$                                       $b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)$

где $r(i,t)$ это доходность собственного капитала $i$ в период $[t,t+1]$ , $r(0,t)$ это безрисковая доходность, $m(t)$ - доходность рыночного индекса, $e(i,t)$ представляет собой рыночную остаточную доходность и $b(i,t)$ — это параметр, соответствующий регрессии временных рядов по истории до момента времени t. Затем $X(i,j,t)$ значения подверженности риску, рассчитанные на основе фундаментальных и технических данных, $f(j,t)$ - это доходность факторов, определяемая перекрестной регрессией для каждого периода времени, и $g(i,t)$ являются остатками регрессии. Эта модель была переформулирована Розенбергом и др. в прямую модель доходности активов,

                               $r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(i,j)+e(i,t)$

Здесь фактор возвращается $f(j,t)$ и конкретная доходность $e(i,t)$ аппроксимируются взвешенной регрессией за каждый период времени $t$ для репрезентативной совокупности активов. Например, модель может быть адаптирована к 3000 обыкновенным акциям США с самой высокой капитализацией. Основное применение модели — оценка актива с помощью ковариационной матрицы актива. $C$ доходности активов по уравнению

                                        $C=XFX^{t}+D$

где $F$ - ковариационная матрица доходности факторов, а $D$ представляет собой блочную диагональную матрицу конкретных доходностей. Матрица $C$ затем используется для построения портфеля Марковица, которое включает максимизацию квадратичной функции полезности.

                                      $u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch$

при условии линейных ограничений на вектор владения активами $h$ . Здесь a — вектор ожидаемой доходности и $k$ — скалярный параметр, называемый неприятием риска.

Модификации Торре

Николо Дж. Торре внес ряд улучшений в эту структуру, что существенно усилило контроль рисков, достижимый с помощью этих средств. ^[2] В модели Розенберга индексы риска X состояли из отраслевых весов и индексов риска. Каждый актив будет подвержен воздействию одной или нескольких отраслей, например, на основе разбивки баланса фирмы или отчета о прибылях по отраслевым сегментам. Сумма этих отраслевых рисков составит 1 для каждого актива. Таким образом, в модели не было явного рыночного фактора, а рыночная доходность прогнозировалась на основе доходности отрасли. Торре модифицировал эту схему, введяявный рыночный фактор (с единичным риском для каждого актива). Чтобы сохранить идентификацию модели, наложено условие, согласно которому отраслевой фактор возвращает сумму к нулю в каждом периоде времени. Таким образом, модель оценивается как

                                 $f(i,t)=m(t)+\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)$

при условии

                                     $\sum _{k}f(k,t)=0$  for all  $t$

где сумма превышает отраслевые факторы. Здесь m(t) — рыночная доходность. Явное определение рыночного фактора затем позволило Торре оценить дисперсию этого фактора, используя модель GARCH(1,1) с использованием кредитного плеча, предложенную Робертом Энглом и Тимом Боллерслевом.

                                    s^2(t)=w+a s^2(t-1)+ b1 fp(m(t-1))^2 + b2 fm(m(t-1))^2

Здесь

                       fp(x)=x for x>0                                 0 for x<=0

                       fm(x)=0  for x>=0                                  x  for x<0

и w, a, b1 и b2 — параметры, подобранные на основе оценок длинных временных рядов с использованием методов максимального правдоподобия. Эта модель обеспечивает быстрое обновление рыночных отклонений, которое включается в обновление F, что приводит к более динамичной модели риска. В частности, это объясняет конвергенцию доходности активов и, как следствие, потерю диверсификации, которая происходит в портфелях в периоды рыночной турбулентности.

В модели риска отраслевые факторы несут примерно половину объяснительной силы после учета рыночного эффекта. Однако Розенберг оставил нерешенным вопрос о том, как следует определять отраслевые группы, решив просто полагаться на традиционный набор отраслей. Определение отраслевых наборов является проблемой таксономии. Основная трудность заключается в том, что отрасль определяется закрепленными за ней членами, но часто неясно, к какой отрасли следует отнести индивидуальный капитал. Трудности можно уменьшить, введя большое количество узко определенных отраслей, но этот подход противоречит требованиям оценки риска. Для надежных оценок риска мы отдаем предпочтение умеренному числу отраслей, при этом каждая отрасль представляет несколько процентных пунктов рыночной капитализации, а не исключительно крупнейшую компанию в отрасли. Торре решил эту проблему, введя несколько сотен узко определенных мини-отраслей, а затем применив методы управляемой кластеризации для объединения мини-отраслей в отраслевые группы, подходящие для оценки рисков.

В исходном подходе Розенберга предполагается, что коэффициент и удельная доходность распределены нормально. Однако опыт выявляет ряд отдаленных наблюдений, которые слишком велики и слишком часты, чтобы их можно было уместить в нормальное распределение. Хотя введение рыночного фактора GARCH частично уменьшает эту трудность, оно не устраняет ее. Торре показал, что распределения доходности можно моделировать как смесь нормального и скачкообразного распределения. В случае одного фактора модель смешивания легко формулируется. Каждый период времени t существует двоичная переменная смешивания b(t). Если b(t)=0, то доходность фактора за этот период рассчитывается из нормального распределения, а если b(t)=1, то из скачкообразного распределения. Торре обнаружил, что в факторах происходят одновременные скачки. Соответственно, в многомерном случае необходимо ввести многомерный вектор шока w(i,t), где w(i,t)=0, если переменная многомерного смешивания b(i,t)=0 и w(i,t) извлекается из i-го распределения скачков, если b(i,t)=1. Матрица передачи T затем отображает w из шокового пространства в факторное пространство. Торре обнаружил, что рынок, факторы и специфическиеВся прибыль может быть описана как смесь нормальной доходности и шоков, распределенных по степенному закону, происходящих с низкой частотой. Такое уточнение моделирования существенно повышает эффективность модели в отношении экстремальных явлений. По сути, это делает возможным создание портфелей, которые будут вести себя более ожидаемо в периоды рыночной турбулентности.

Расширения для других типов рынков

Хотя модель многофакторного риска изначально была разработана для рынка акций США, она была быстро распространена на другие рынки акций и другие типы ценных бумаг, такие как облигации и опционы на акции. Тогда возникает проблема, как построить модель риска для нескольких классов активов. Первый подход к мировому фондовому рынку был предложен Беккерсом, Раддом и Стефеком. Они оценили модель, включающую валюту, страну, мировые отрасли и глобальные индексы риска. Эта модель хорошо работала для портфелей, построенных по принципу нисходящего процесса: сначала выбираются страны, а затем выбираются активы внутри стран. Менее успешным было использование портфелей, построенных по принципу «снизу вверх», при котором портфели внутри стран сначала отбирались специалистами по странам, а затем применялось глобальное наложение. Кроме того, глобальная модель, применяемая к портфолио одной страны, часто противоречит модели местного рынка. Торре разрешил эти трудности, введя двухэтапный факторный анализ. Первый этап состоит из подбора серии локальных факторных моделей знакомой формы, в результате чего получается набор доходностей факторов f(i,j,t), где f(i,j,t) — доходность фактора i в j-м локальном модель в т. Доходность факторов затем адаптируется к модели второго этапа форма

                                  $f(i,j,t)=\sum _{k}Y(i,j,k)g(k,t)+h(i,j,t)$

Здесь Y обозначает воздействие локального фактора (i,j) на $k^{t}h$ глобальный фактор, доходность которого равна g(k,t), а h(i,j,t) — доходность местного конкретного фактора. Ковариационная матрица доходности факторов оценивается как

$\mathbf {F=YGY^{t}+H}$

где G — ковариационная матрица глобальных факторов, а H — блочные диагональные ковариации доходности местных конкретных факторов. Этот подход к моделированию позволяет объединять любое количество локальных моделей для проведения комплексного анализа нескольких классов активов. Это особенно актуально для глобальных портфелей акций и для управления рисками в масштабах всего предприятия.

Модель многофакторного риска с описанными выше уточнениями является доминирующим методом контроля риска в профессионально управляемых портфелях. По оценкам, более половины мирового капитала управляется с использованием таких моделей.

Академические модели

Многие ученые пытались построить факторные модели с довольно небольшим количеством параметров. К ним относятся:

Однако до сих пор нет общего согласия относительно количества факторов. ^[3] Существует множество коммерческих моделей, в том числе модели MSCI и факторная модель управления активами Goldman Sachs . ^[4]

Ссылки

^ Розенберг, Барр и Винай Марат. Прогнозирование инвестиционного риска: Систематический и остаточный риск. 1975.
^ Рикард, Джон Т. и Николо Г. Торре . «Теория оптимальной реализации транзакций». Сигналы, системы и компьютеры, 1998. Протокол тридцать второй асиломарской конференции. Том. 1. ИИЭР, 1998.
^ Харви, Кэмпбелл Р., Ян Лю и Хэцин Чжу. «... И сечение ожидаемой доходности». Обзор финансовых исследований (2015): hhv059.
^ «Управление портфелем» .

[1] Розенберг, Барр и Винай Марат. Прогнозирование инвестиционного риска: Систематический и остаточный риск. 1975.

[2] Рикард, Джон Т. и Николо Г. Торре . «Теория оптимальной реализации транзакций». Сигналы, системы и компьютеры, 1998. Протокол тридцать второй асиломарской конференции. Том. 1. ИИЭР, 1998.

[3] Харви, Кэмпбелл Р., Ян Лю и Хэцин Чжу. «... И сечение ожидаемой доходности». Обзор финансовых исследований (2015): hhv059.

[4] «Управление портфелем» .

[1]

[2]

[3]

[4]