S-процедура

S -процедура или S-лемма — это математический результат, который дает условия, при которых определенное квадратное неравенство является следствием другого квадратного неравенства. S-процедура разрабатывалась независимо в различных контекстах. и имеет приложения в теории управления , линейной алгебре и математической оптимизации .

Формулировка S-процедуры

Пусть F ₁ и F ₂ — симметричные матрицы, g ₁ и g ₂ — векторы, а h ₁ и h ₂ — действительные числа. Предположим, что существует такой x ₀ , что выполняется строгое неравенство $x_{0}^{T}F_{1}x_{0}+2g_{1}^{T}x_{0}+h_{1}<0$ держит. Тогда импликация

$x^{T}F_{1}x+2g_{1}^{T}x+h_{1}\leq 0\Longrightarrow x^{T}F_{2}x+2g_{2}^{T}x+h_{2}\leq 0$

выполняется тогда и только тогда, когда существует некоторое неотрицательное число λ такое, что

$\lambda {\begin{bmatrix}F_{1}&g_{1}\\g_{1}^{T}&h_{1}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}F_{2}&g_{2}\\g_{2}^{T}&h_{2}\end{bmatrix}}$

является положительно полуопределенным .

См. также

• Линейное матричное неравенство
• Лемма Финслера